Từ tỉ lệ sản phẩm của hai máy và tỉ lệ lỗi của từng máy, ta tính xác suất một sản phẩm bị lỗi. Bài kế tiếp đảo chiều suy luận bằng công thức Bayes.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của bài tập nâng cao có lời giải trước khi biến đổi.
- Trong Xác suất có điều kiện và bayes lớp 12: Bài tập nâng cao có lời giải, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Một xưởng có máy A làm 60% sản phẩm, tỉ lệ lỗi 2%; máy B làm 40%, tỉ lệ lỗi 5%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm bị lỗi.
Bài 2: Với dữ kiện của Bài 1, biết sản phẩm được chọn bị lỗi. Xác suất nó do máy B sản xuất là bao nhiêu?
Bài 3: Trong cộng đồng, tỉ lệ mắc bệnh là 1%. Xét nghiệm phát hiện đúng 90% ca mắc, đồng thời cho kết quả âm tính đúng ở 95% người không mắc. Tính xác suất một người mắc bệnh nếu xét nghiệm dương tính.
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên hộp A, B, C với xác suất lần lượt 1/2, 1/3, 1/6. Xác suất lấy bi đỏ trong mỗi hộp lần lượt 1/2, 1/4, 3/4. Tính xác suất chọn được bi đỏ.
Bài 5: Với cách chọn hộp và tỉ lệ bi đỏ ở Bài 4, biết đã rút được bi đỏ. Xác suất hộp được chọn là C bằng bao nhiêu?
Bài 6: Giả sử P(A) = 0,3, P(B|A) = 0,8 và P(B|không A) = 0,2. Tính P(A|B).
Lời giải chi tiết
Bài 1: Theo công thức xác suất toàn phần: P(lỗi) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032 = 3,2%.
Bài 2: Theo Bayes: P(B|lỗi) = P(B)P(lỗi|B)/P(lỗi) = 0,4 × 0,05/0,032 = 0,020/0,032 = 5/8 = 62,5%.
Bài 3: P(+) = 0,01 × 0,90 + 0,99 × 0,05 = 0,0585. Theo Bayes: P(bệnh|+) = 0,009/0,0585 = 2/13 ≈ 15,38%.
Bài 4: P(đỏ) = (1/2)(1/2) + (1/3)(1/4) + (1/6)(3/4) = 1/4 + 1/12 + 1/8 = (6 + 2 + 3)/24 = 11/24.
Bài 5: P(C|đỏ) = P(C)P(đỏ|C)/P(đỏ) = (1/6 × 3/4)/(11/24) = (1/8)/(11/24) = 3/11.
Bài 6: P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,2 = 0,38. Vậy P(A|B) = 0,24/0,38 = 12/19 ≈ 63,16%.