Chuyên đề biến cố độc lập sau khi biết điều kiện lớp 12 – Bài tập nâng cao có lời giải tập trung vào xác suất có điều kiện.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của xác suất có điều kiện trước khi biến đổi.
- Trong Chuyên đề biến cố độc lập sau khi biết điều kiện lớp 12, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Tung hai đồng xu cân đối độc lập. Gọi A là biến cố lần đầu ngửa, B là biến cố lần hai ngửa, C là biến cố hai lần cho cùng mặt. A và B có độc lập khi đã biết C không?
Bài 2: Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi A là biến cố ra số chẵn, B là biến cố ra bội của 3, C là biến cố ra số không quá 3. Kiểm tra A, B có độc lập không trước và sau khi biết C.
Bài 3: Cho P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 và A, B xung khắc. Hai biến cố có độc lập không?
Bài 4: Hai biến cố A, B độc lập với P(A) = 0,3, P(B) = 0,4. Tính P(A∪B) và xác suất không xảy ra cả hai.
Bài 5: Chọn đều một số nguyên từ 1 đến 12. Gọi A là biến cố số chẵn, B là biến cố số chia hết cho 3. A, B có độc lập không?
Bài 6: Cho P(C) > 0 và P(A|C) = 1/3, P(B|C) = 1/4, P(A∩B|C) = 1/12. A, B có độc lập khi biết C không? Có thể suy ra chúng độc lập khi không có điều kiện không?
Lời giải chi tiết
Bài 1: Khi C xảy ra, không gian kết quả gồm NN và SS đồng khả năng. P(A|C) = P(B|C) = 1/2, nhưng P(A∩B|C) = 1/2 ≠ 1/4. Vậy A, B không độc lập khi đã biết C, dù trước đó chúng độc lập.
Bài 2: Trước điều kiện: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A∩B) = 1/6 nên A, B độc lập. Khi biết C, các mặt 1, 2, 3 đồng khả năng; P(A|C) = 1/3, P(B|C) = 1/3 và P(A∩B|C) = 0, nên không độc lập có điều kiện.
Bài 3: Vì xung khắc nên P(A∩B) = 0, còn P(A)P(B) = 0,06 ≠ 0. Do đó chúng không độc lập.
Bài 4: P(A∩B) = 0,3 × 0,4 = 0,12. P(A∪B) = 0,3 + 0,4 − 0,12 = 0,58. Xác suất cả hai không xảy ra = 1 − 0,58 = 0,42.
Bài 5: Có 6 số chẵn, 4 số chia hết cho 3 và 2 số chia hết cho cả 2 và 3. P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A∩B) = 2/12 = 1/6 = P(A)P(B). Vậy độc lập.
Bài 6: Vì (1/3)(1/4) = 1/12 = P(A∩B|C), A, B độc lập khi biết C. Không thể suy ra A và B độc lập vô điều kiện nếu chưa biết P(A), P(B), P(A∩B).