Chuyên đề biến đổi biểu thức để giải phương trình lớp 7 – Bài tập nâng cao có lời giải tập trung vào biểu thức đại số và đa thức. Độ khó nằm ở việc đọc điều kiện, chọn quan hệ phù hợp và nối các bước suy luận; số liệu không được cố tình làm lớn chỉ để tạo cảm giác khó.
Trọng tâm tư duy
- Xác định định lí, tính chất hoặc phép biến đổi trung tâm của biểu thức đại số và đa thức.
- Không bỏ qua điều kiện xác định, dấu, tính chia hết hoặc cấu hình hình học khi kết luận.
- Ưu tiên lời giải ngắn có lí do; nếu có nhiều trường hợp phải chỉ rõ vì sao đã xét đủ.
Đề bài
Bài 1: Tìm số nguyên x để (2x + 5)/3 là số nguyên và −5≤x≤5.
Bài 2: Tìm x để biểu thức B = (x − 4)(x + 4) − x² bằng −16. Có cần giải phương trình không?
Bài 3: Cho A = x + y, B = x − y. Biết A = 14, B = 8. Không giải hệ theo cách thế, hãy tìm x² − y².
Bài 4: Cho P(x) = x² + mx + 5. Biết P(1) = P(−1). Tìm m.
Bài 5: Chứng minh x² + y²≥2xy và dùng kết quả để tìm giá trị nhỏ nhất của x² − 8x + 19.
Bài 6: Rút gọn A = 3x² − 2x + 5 − (x² − 4x + 1) + 2(x² − x).
Bài 7: Chứng minh x² − 6x + 13≥4 và tìm khi bằng.
Bài 8: Tìm số nguyên x trong[−6, 6] để (3x + 5)/4 là số nguyên.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Điều kiện 2x + 5 chia hết cho 3. Vì 2≡−1 (mod3), suy ra x≡2 (mod3). Liệt kê các x trong [−5, 5] thỏa lớp dư đó.
Bài 2: B = x² − 16 − x² = −16 với mọi x. Vì vậy mọi x đều thỏa; mấu chốt là nhận ra hằng đẳng thức.
Bài 3: x² − y² = (x + y)(x − y) = AB = 112.
Bài 4: P(1) = 1 + m + 5; P(−1) = 1 − m + 5. Hai giá trị bằng nhau nên 2m = 0, m = 0.
Bài 5: x² + y² − 2xy = (x − y)²≥0. Với biểu thức đã cho: x² − 8x + 19 = (x − 4)² + 3≥3, đạt khi x = 4.
Bài 6: Gộp hệ số: x²: 3 − 1 + 2 = 4; x: −2 + 4 − 2 = 0; hằng số 5 − 1 = 4. A = 4x² + (0)x + 4.
Bài 7: x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4≥4, bằng khi x = 3.
Bài 8: Cần3x + 5≡0 mod4. Vì3≡−1, suy ra x≡1 mod4. Trong đoạn có x = −3, 1, 5.
Tự kiểm tra và mở rộng
Sau khi hoàn thành Chuyên đề biến đổi biểu thức để giải phương trình lớp 7 – Bài tập nâng cao có lời giải, nên quay lại Bài 3 để ghi riêng giả thiết, kết luận và bước suy luận không thể bỏ. Ở Bài 4, thử thay một dữ kiện nhỏ rồi dự đoán tính chất nào còn đúng trước khi giải lại. Với bài phương trình hoặc số học, kiểm tra nghiệm và điều kiện; với hình học, chỉ dùng các quan hệ đã được chứng minh. Đây là cách phát hiện lời giải đúng do suy luận chứ không phải do đoán trúng.