Diện tích giữa hai đồ thị được tính bằng tích phân của hiệu hàm số theo thứ tự trên trừ dưới. Bài mở đầu xét hai đường y = x và y = x² trên đoạn giao nhau.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của nguyên hàm và tích phân trước khi biến đổi.
- Trong Chuyên đề diện tích hình phẳng lớp 12, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x và y = x².
Bài 2: Tính diện tích giữa y = x² − 1 và trục Ox trên [−1, 1].
Bài 3: Tìm diện tích giới hạn bởi y = 2x và y = x².
Bài 4: Đường y = x² − 4x + 3 cắt trục Ox tại đâu và diện tích phần nằm dưới trục Ox giữa hai nghiệm bằng bao nhiêu?
Bài 5: Tính diện tích giữa y = |x| và y = x² trên [−1, 1].
Bài 6: Cho f(x) = x³ − x. Tính tổng diện tích giữa đồ thị và trục Ox trên [−1, 1].
Lời giải chi tiết
Bài 1: Hai đồ thị cắt tại 0, 1; trên [0, 1], x≥x². S = ∫₀¹(x − x²)dx = 1/6.
Bài 2: Trên đoạn này x² − 1≤0. S = ∫_{−1}¹(1 − x²)dx = 4/3.
Bài 3: Giao điểm x = 0, 2. Trên [0, 2], 2x≥x². S = ∫₀²(2x − x²)dx = 4/3.
Bài 4: Nghiệm 1, 3. Trên [1, 3], hàm không dương. S = ∫₁³ − (x² − 4x + 3)dx = 4/3.
Bài 5: Đối xứng: S = 2∫₀¹(x − x²)dx = 1/3.
Bài 6: Hàm lẻ và đổi dấu tại −1, 0, 1. Diện tích đối xứng: 2∫₀¹(x − x³)dx = 2(1/2 − 1/4) = 1/2.