Góc giữa véc-tơ và điều kiện thẳng hàng trong Oxyz.
Đề bài
Bài 1. Cho A(1;2;3), B(3;4;7), C(5;6;11). Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 2. Tìm m để u=(1;2;m) cùng phương v=(3;6;9).
Bài 3. Cho u=(1;1;0), v=(1;0;1). Tính góc giữa hai véc-tơ.
Bài 4. Tìm t sao cho A(1;0;2), B(3;2;4), C(t;4;6) thẳng hàng.
Bài 5. Tìm m để hai véc-tơ u=(1;m;2) và v=(2;4;4) cùng phương.
Bài 6. Tìm tọa độ C(m;5;9) để A(0;1;1), B(2;3;5), C thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Bài 1. AB=(2;2;4), AC=(4;4;8)=2AB. Vì AB khác 0 và AC cùng phương AB nên A,B,C thẳng hàng.
Bài 2. Từ thành phần đầu, hệ số tỉ lệ v=3u. Do đó 3m=9 ⇒m=3; thành phần thứ hai 6=3·2 phù hợp.
Bài 3. u·v=1, |u|=|v|=√2, nên cosθ=1/2. Góc giữa hai véc-tơ bằng 60°.
Bài 4. AB=(2;2;2), AC=(t−1;4;4). Hai thành phần sau cho AC=2AB, do đó t−1=4 ⇒t=5. Thử C(5;4;6), AC=(4;4;4), thỏa.
Bài 5. Từ tọa độ thứ nhất, nếu cùng phương thì v=2u. Khi ấy tọa độ thứ ba thỏa mãn 4=2·2; tọa độ thứ hai yêu cầu 4=2m, nên m=2. Thử lại v=2u.
Bài 6. Ta có AB=(2;2;4), AC=(m;4;8). Hai thành phần cuối cho AC=2AB; vì thế m=4. Khi đó AC=(4;4;8)=2AB, nên ba điểm thẳng hàng.
Lưu ý khi làm bài
Hai véc-tơ cùng phương cần tỉ lệ nhất quán trên tất cả tọa độ, kể cả tọa độ bằng 0.