Từ quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, các bài chuyển sang hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. Cần chỉ rõ điều kiện vuông góc trước khi rút ra hệ quả.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của quan hệ vuông góc trong không gian trước khi biến đổi.
- Trong Chuyên đề góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Nếu d⊥(P) và (P)∥(Q), chứng minh d⊥(Q).
Bài 2: Hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC). Chứng minh các tam giác SAB, SAC vuông và nêu hệ quả về khoảng cách từ S đến đáy.
Bài 3: Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và SA⊥đáy. Chứng minh BD⊥(SAC).
Bài 4: Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc, giao tuyến d. Trong P lấy a⊥d. Chứng minh a⊥(Q).
Bài 5: Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, tính góc giữa AC′ và mặt phẳng (ABCD) nếu AB = 3, AD = 4, AA′ = 12.
Bài 6: Cho d vuông góc hai đường thẳng cắt nhau a, b trong (P). Chứng minh d⊥(P).
Bài 7: Hình chóp S.ABCD có đáy vuông, SA⊥đáy. Chứng minh BD⊥(SAC).
Bài 8: Trong hình chóp S.ABC, SA⊥(ABC), AB = 3, AC = 4, BC = 5. Tính góc giữa SB và mặt phẳng đáy nếu SA = 4.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Một đường vuông góc một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc mặt phẳng kia vì các phương trong hai mặt phẳng tương ứng song song.
Bài 2: SA⊥mọi đường qua A trong đáy, đặc biệt AB, AC. Do đó hai tam giác vuông tại A; khoảng cách từ S đến (ABC) bằng SA.
Bài 3: BD⊥AC trong hình vuông; BD⊥SA vì SA⊥đáy. Hai đường SA, AC cắt nhau trong (SAC), nên BD⊥(SAC).
Bài 4: Định lí hai mặt phẳng vuông góc: đường trong một mặt phẳng vuông góc giao tuyến thì vuông góc mặt phẳng kia.
Bài 5: Hình chiếu của AC′ lên đáy là AC = 5. Trong tam giác vuông ACC′, tan góc = CC′/AC = 12/5; do đó góc cần tìm bằng arctan(12/5) ≈ 67,38°.
Bài 6: Theo tiêu chuẩn đường thẳng vuông góc mặt phẳng: vuông góc với hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng thì d⊥(P).
Bài 7: BD⊥AC trong hình vuông và BD⊥SA vì SA⊥đáy. Hai đường SA, AC cắt nhau trong(SAC), nên BD⊥(SAC).
Bài 8: Hình chiếu của SB lên đáy là AB = 3. Trong tam giác SAB vuông tại A, tan góc = SA/AB = 4/3; do đó góc cần tìm bằng arctan(4/3) ≈ 53,13°.