Đường thẳng vuông góc mặt phẳng lớp 11: Bài tập nâng cao có lời giải dành cho học sinh đã nắm chắc kiến thức lớp 11 và muốn luyện sâu bài tập nâng cao có lời giải. Các bài có yêu cầu suy ngược, biện luận, kiểm tra điều kiện hoặc kết nối nhiều kiến thức trong cùng chủ đề.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của bài tập nâng cao có lời giải trước khi biến đổi.
- Trong Đường thẳng vuông góc mặt phẳng lớp 11: Bài tập nâng cao có lời giải, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8 cm, AB = 6 cm. Tính SB và giải thích vì sao tam giác SAB vuông.
Bài 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 6 cm, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh BC ⊥ (SAB).
Bài 3: Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AA′ = 12 cm. Chứng minh CC′ ⊥ (ABCD) và tính khoảng cách từ C′ đến mặt phẳng đáy.
Bài 4: Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh BC ⊥ (SAB).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC với SA ⊥ (ABC), AB ⊥ AC. Chứng minh AC ⊥ (SAB).
Bài 6: Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh BD ⊥ (AA′C′C).
Bài 7: Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 12 cm, AB = 9 cm. Tính SB và nêu hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng đáy.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại A, SA = 9 cm, AC = 12 cm. Tính SC; chứng minh SC không vuông góc với (ABC).
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB. Tam giác SAB vuông tại A, do đó SB = √(SA² + AB²) = √(64 + 36) = 10 cm.
Bài 2: Trong hình vuông, BC ⊥ AB. Vì SA ⊥ (ABCD) nên BC ⊥ SA. Hai đường SA và AB cắt nhau cùng thuộc (SAB); do đó BC vuông góc mặt phẳng (SAB).
Bài 3: Các cạnh bên AA′, BB′, CC′, DD′ cùng vuông góc mặt phẳng đáy. Vậy CC′ ⊥ (ABCD), C là hình chiếu của C′ xuống đáy; khoảng cách cần tìm là CC′ = AA′ = 12 cm.
Bài 4: Vì ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB. Lại có BC ⊥ SA do SA ⊥ (ABC). Hai đường AB và SA cắt nhau trong (SAB), nên BC ⊥ (SAB).
Bài 5: AC ⊥ AB theo giả thiết; AC ⊥ SA vì SA vuông góc đáy. Hai đường SA và AB cắt nhau trong (SAB); suy ra AC ⊥ (SAB).
Bài 6: BD ⊥ AC vì hai đường chéo hình vuông ABCD vuông góc. BD ⊥ AA′ vì AA′ vuông góc đáy. Hai đường AC và AA′ cắt nhau, cùng nằm trong (AA′C′C), nên BD ⊥ (AA′C′C).
Bài 7: Tam giác SAB vuông tại A, SB = √(12² + 9²) = 15 cm. Hình chiếu của S xuống đáy là A, còn B nằm sẵn trong đáy, nên hình chiếu của SB là AB.
Bài 8: Tam giác SAC vuông tại A, SC = √(9² + 12²) = 15 cm. Nếu SC ⊥ (ABC) thì SC ⊥ AC, mâu thuẫn tam giác SAC có góc SCA nhọn (vì AC và SC là hai cạnh của tam giác vuông không suy biến). Vậy SC không vuông góc đáy.