Chuyên đề đường tròn ôn thi vào lớp 10 tập trung vào tiếp tuyến, cát tuyến, dây cung và góc; mỗi bài kèm hình dung quan hệ vị trí để áp dụng đúng định lý.
Trọng tâm tư duy
- Tiếp tuyến tại T vuông góc với bán kính OT.
- Với M ngoài đường tròn, dùng MT² = MA·MB cho một tiếp tuyến và một cát tuyến MAB (A gần M).
- Nêu rõ vị trí các điểm khi dùng góc nội tiếp hoặc tứ giác nội tiếp.
Đề bài
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm. Điểm M cách O 10 cm, MT là tiếp tuyến với T thuộc đường tròn. Tính MT.
Bài 2: Từ M ngoài đường tròn, tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB với M, A, B thẳng hàng theo thứ tự đó. Biết MA = 3 cm, MB = 12 cm. Tính MT.
Bài 3: Từ M ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn tâm O. Biết góc AMB = 72°. Tính góc AOB.
Bài 4: Đường tròn bán kính 13 cm có dây AB cách tâm O một khoảng 5 cm. Tính độ dài AB.
Bài 5: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết góc A = 105° và góc B = 68°. Tính góc C và D.
Bài 6: Từ M ngoài đường tròn có hai cát tuyến MAB và MCD (A, C nằm gần M). Biết MA = 4 cm, MB = 15 cm, MC = 6 cm. Tính MD.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Bán kính OT vuông góc MT, nên tam giác OTM vuông tại T. Theo Pythagore, MT² = OM² − OT² = 10² − 6² = 64, suy ra MT = 8 cm.
Bài 2: Hệ thức tiếp tuyến–cát tuyến cho MT² = MA·MB = 3×12 = 36. Do MT dương nên MT = 6 cm.
Bài 3: Vì OA vuông góc MA và OB vuông góc MB, tứ giác AOBM có hai góc tại A, B đều 90°. Tổng bốn góc tứ giác bằng 360°, suy ra góc AOB = 360° − 90° − 90° − 72° = 108°.
Bài 4: Hạ OH vuông góc AB tại H; đường vuông góc từ tâm đến dây đi qua trung điểm dây. Tam giác OHA vuông, AH=√(OA²−OH²)=√(13²−5²)=12 cm. Vậy AB=2AH=24 cm.
Bài 5: Hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau. Do đó góc C = 180° − 105° = 75°, góc D = 180° − 68° = 112°.
Bài 6: Hệ thức hai cát tuyến qua điểm M: MA·MB = MC·MD. Thay số 4×15 = 6·MD suy ra MD = 10 cm, lớn hơn MC = 6 cm, đúng thứ tự các điểm.