Đường thẳng không gian, giao với mặt phẳng và mặt cầu.
Đề bài
Bài 1. Đường thẳng d đi qua A(1;0;2) có chỉ phương u=(2;1;−1). Tìm giao với mặt phẳng x+y+z=7.
Bài 2. Mặt cầu (S): x²+y²+z²−2x+4y−6z−11=0. Tìm tâm và bán kính.
Bài 3. Xét đường thẳng x=t,y=0,z=2 và mặt cầu x²+y²+z²=9. Tìm các giao điểm.
Bài 4. Cho mặt cầu tâm I(1;−2;3), R=4. Điểm M(3;−2;3) nằm trong hay ngoài mặt cầu?
Bài 5. Đường thẳng d: x=1+t, y=2t, z=1−t cắt mặt cầu (S): x²+y²+z²=8 tại những điểm nào?
Bài 6. Chứng minh đường thẳng d: x=3, y=t, z=t tiếp xúc mặt cầu (S): x²+y²+z²=9 và tìm tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Bài 1. d: (x,y,z)=(1+2t,t,2−t). Tổng x+y+z=3+2t=7 ⇒t=2. Giao điểm (5;2;0).
Bài 2. Hoàn bình phương (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=25. Tâm I(1;−2;3), bán kính 5.
Bài 3. Thế vào mặt cầu: t²+4=9 ⇒t=±√5. Hai giao điểm (√5;0;2), (−√5;0;2).
Bài 4. IM=√[(3−1)²+0²+0²]=2<4. Điểm M nằm trong mặt cầu, không nằm trên mặt cầu (đòi hỏi IM=R).
Bài 5. Thay phương trình tham số vào mặt cầu: (1+t)²+(2t)²+(1−t)²=8, hay 2+6t²=8. Suy ra t=±1. Với t=1 thu được (2;2;0); với t=−1 thu được (0;−2;2). Cả hai đều thuộc (S).
Bài 6. Thay vào phương trình mặt cầu được 9+2t²=9 ⇔t=0 (nghiệm kép). Do đó d có đúng một giao điểm với (S), là T(3;0;0). Véc-tơ tiếp tuyến của d là (0;1;1) vuông góc OT=(3;0;0), xác nhận tiếp xúc.
Lưu ý khi làm bài
Giao đường thẳng với mặt cầu có thể không có điểm thực; cần xem phương trình tham số.