Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình lớp 9: phương trình bậc hai có tham số dành cho học sinh đã nắm chắc kiến thức lớp 9 và muốn luyện sâu phương trình bậc hai có tham số. Các bài có yêu cầu suy ngược, biện luận, kiểm tra điều kiện hoặc kết nối nhiều kiến thức trong cùng chủ đề.
Phương pháp cần nhớ
- Ghi điều kiện cần thiết của ẩn trước khi biến đổi hoặc xét dấu.
- Với hệ tổng–tích và phương trình bậc hai, kiểm tra biệt thức cùng dấu, tính chất của nghiệm.
- Sau bình phương hoặc nhân với biểu thức chứa ẩn, thử lại để loại nghiệm không thỏa.
Đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình x² − 2(m + 1)x + m² − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: Tìm m để x² − (m + 3)x + 2m + 2 = 0 có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: Tìm m để phương trình x² − 2mx + m + 2 = 0 có hai nghiệm dương.
Bài 4: Tìm m để phương trình x² − (m + 1)x + m = 0 có hai nghiệm cách nhau 3 đơn vị.
Bài 5: Cho x² − 5x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ và x₁/x₂ + x₂/x₁ = 3. Tìm m.
Bài 6: Tìm m để đường thẳng y = m cắt parabol y = x² − 4x + 5 tại đúng một điểm.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Δ′ = (m + 1)² − (m² − 1) = 2m + 2. Có hai nghiệm phân biệt khi 2m + 2 > 0, tức m > −1.
Bài 2: Thay x = 2: 4 − 2m − 6 + 2m + 2 = 0, đúng với mọi m. Theo Viète, tổng nghiệm m + 3 nên nghiệm còn lại là m + 1.
Bài 3: Cần Δ′ = m² − m − 2 ≥ 0, tổng 2m > 0 và tích m + 2 > 0. Từ Δ′≥0 suy ra m≤−1 hoặc m≥2; kết hợp m>0 cho m≥2.
Bài 4: Phương trình phân tích (x − 1)(x − m) = 0. Hai nghiệm 1 và m; khoảng cách |m − 1| = 3 nên m = 4 hoặc m = −2.
Bài 5: (x₁² + x₂²)/(x₁x₂) = 3. Với S = 5, P = m: (25 − 2m)/m = 3 ⇒25 = 5m ⇒m = 5. Δ = 5>0.
Bài 6: Cần x² − 4x + 5 = m có nghiệm kép: Δ = 16 − 4(5 − m) = 4m − 4 = 0 ⇒m = 1. Đây cũng là tung độ đỉnh parabol.