Hệ hai ẩn khi biết tổng và tích có thể giải thông qua phương trình bậc hai. Các bài tiếp theo vận dụng Viète để tìm biểu thức của nghiệm mà không cần giải riêng từng nghiệm.
Phương pháp cần nhớ
- Ghi điều kiện cần thiết của ẩn trước khi biến đổi hoặc xét dấu.
- Với hệ tổng–tích và phương trình bậc hai, kiểm tra biệt thức cùng dấu, tính chất của nghiệm.
- Sau bình phương hoặc nhân với biểu thức chứa ẩn, thử lại để loại nghiệm không thỏa.
Đề bài
Bài 1: Giải hệ x + y = 9, xy = 14 mà không dùng phép thế trực tiếp.
Bài 2: Cho x₁, x₂ là nghiệm của x² − 7x + 5 = 0. Không giải phương trình, tính x₁² + x₂² và 1/x₁ + 1/x₂.
Bài 3: Tìm m để hệ x + y = m, xy = 6 có hai nghiệm nguyên dương.
Bài 4: Biết x, y dương, x + y = 10 và 1/x + 1/y = 5/12. Tìm x, y.
Bài 5: Cho phương trình x² − 6x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa x₁² + x₂² = 20. Tìm m.
Bài 6: Hai số có tổng 13. Tổng bình phương của chúng bằng 85. Tìm hai số bằng cách dùng hệ thức tổng – tích.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Xem x, y là hai nghiệm của t² − 9t + 14 = 0. Phương trình có nghiệm 2 và 7, nên hệ có hai cặp (2;7), (7;2).
Bài 2: Theo Viète, S = 7, P = 5. x₁² + x₂² = S² − 2P = 39; 1/x₁ + 1/x₂ = S/P = 7/5.
Bài 3: x, y là các ước dương ghép cặp của 6: (1, 6), (2, 3) và đổi chỗ. Do đó m = 7 hoặc m = 5.
Bài 4: (x + y)/(xy) = 5/12 nên 10/(xy) = 5/12, suy ra xy = 24. x, y là nghiệm t² − 10t + 24 = 0, nên {4, 6}.
Bài 5: Theo Viète S = 6, P = m. S² − 2P = 20 nên 36 − 2m = 20, m = 8. Khi đó Δ = 4 > 0, đúng là có hai nghiệm.
Bài 6: (x + y)² = x² + y² + 2xy cho 169 = 85 + 2xy, nên xy = 42. Hai số là nghiệm t² − 13t + 42 = 0: 6 và 7.