Chuyên đề bài toán thực tế với góc nâng lớp 9 – Bài tập nâng cao có lời giải tập trung vào hệ thức lượng và lượng giác tam giác vuông.
Phương pháp cần nhớ
- Xác định góc đang xét để chọn đúng cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền.
- Dùng định nghĩa sin, cos, tan hoặc định lí Pythagore đúng với tam giác vuông.
- Với góc nâng, vẽ chiều cao mắt và đường ngắm để không bỏ sót độ cao điểm quan sát.
Đề bài
Bài 1: Một người có mắt cao 1,5 m đứng cách chân tháp 18 m trên mặt phẳng ngang. Góc nâng từ mắt đến đỉnh tháp là 30°. Tính chiều cao tháp (làm tròn đến 0,01 m).
Bài 2: Một con dốc tăng độ cao 3 m trên quãng đường nằm ngang 4 m. Tính độ dài mặt dốc và góc dốc so với phương ngang.
Bài 3: Hai điểm quan sát A, B cùng phía chân tháp T trên một đường thẳng ngang, A gần T hơn B 20 m. Góc nâng tại A là 45°, tại B là 30°. Tìm chiều cao tháp.
Bài 4: Một thuyền tiến thẳng về chân hải đăng, từ vị trí đầu nhìn đỉnh với góc nâng 30°. Đi thêm 40 m về phía chân hải đăng thì góc nâng thành 60°. Bỏ qua chiều cao mắt quan sát. Tính chiều cao hải đăng.
Bài 5: Một dây neo dài 15 m tạo với mặt đất nằm ngang góc 40°. Tính độ cao điểm neo và khoảng cách nằm ngang từ chân cột đến cọc (làm tròn 0,01 m).
Bài 6: Một cột thẳng đứng cao 8 m tạo bóng trên mặt đất phẳng. Biết góc nâng của Mặt Trời α thỏa tan α = 4/3. Tính chiều dài bóng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Phần cao hơn mắt bằng 18tan30° = 18/√3 = 6√3 m. Chiều cao tháp là 1,5 + 6√3 ≈ 11,89 m.
Bài 2: Tam giác vuông có hai cạnh 3 m, 4 m nên cạnh huyền 5 m. Với góc α, tan α = 3/4, suy ra α ≈ 36,87°.
Bài 3: Gọi chiều cao là h và AT = h (vì tan45° = 1). BT = h + 20 và tan30° = h/(h + 20) = 1/√3. Do đó h(√3 − 1) = 20, suy ra h = 10(√3 + 1) ≈ 27,32 m.
Bài 4: Gọi khoảng cách ban đầu x (> 40) và chiều cao h. Ta có h = x/√3 và h = (x − 40)√3. Suy ra x = 3(x − 40), nên x = 60 m. Vậy h = 60/√3 = 20√3 m.
Bài 5: Độ cao h = 15sin40° ≈ 9,64 m. Khoảng cách nằm ngang d = 15cos40° ≈ 11,49 m.
Bài 6: Đối với tam giác vuông, tan α = 8/d = 4/3, trong đó d là chiều dài bóng. Suy ra d = 8 × 3/4 = 6 m.