Tiệm cận cần được xét bằng giới hạn, còn phương trình tiếp tuyến xác định từ tọa độ tiếp điểm và đạo hàm. Lưu ý một điểm khuyết không nhất thiết là tiệm cận đứng.
Đề bài
Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị y = (2x + 1)/(x − 3).
Bài 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của y = (x² + 1)/(x − 1).
Bài 3: Đồ thị y = (x² − 4)/(x − 2) có tiệm cận đứng x = 2 không? Giải thích.
Bài 4: Viết tiếp tuyến của y = x³ − 3x tại điểm có hoành độ x = 1.
Bài 5: Viết tiếp tuyến của y = (x + 1)/(x − 1) tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 6: Tìm tiếp tuyến của parabol y = x² song song với đường thẳng y = 4x − 1.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Tập xác định loại x = 3. Khi x tiến đến 3, tử tiến đến 7 khác 0 nên x = 3 là tiệm cận đứng. Khi x tiến đến ±∞, y tiến đến 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang.
Bài 2: Chia đa thức: y = x + 1 + 2/(x − 1). Vì phần dư tiến đến 0 khi x tiến đến ±∞ nên y = x + 1 là tiệm cận xiên. Vì tử tại x = 1 bằng 2 khác 0 nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Bài 3: Khi x khác 2, biểu thức rút gọn thành y = x + 2. Giới hạn khi x tiến đến 2 bằng 4, hữu hạn, nên x = 2 không phải tiệm cận đứng; đó là điểm khuyết của đồ thị.
Bài 4: Đạo hàm y′ = 3x² − 3 nên y′(1) = 0; tung độ tiếp điểm bằng −2. Tiếp tuyến là y = −2.
Bài 5: y(0) = −1; y′ = −2/(x − 1)² nên y′(0) = −2. Tiếp tuyến: y + 1 = −2x, tức y = −2x − 1.
Bài 6: Tiếp tuyến cần có hệ số góc 4. Vì y′ = 2x nên tiếp điểm có x = 2 và y = 4. Phương trình tiếp tuyến: y − 4 = 4(x − 2), hay y = 4x − 4.