Bài học tập trung vào cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn bằng đạo hàm; các bài cuối yêu cầu xét cả vị trí điểm cực tiểu phụ thuộc tham số.
Đề bài
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) = x³ − 3x trên [−2; 2].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) = −x² + 4x + 1 trên [0; 5].
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) = x + 4/x trên [1; 4].
Bài 4: Một hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng bằng 6. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) = x⁴ − 4x² trên đoạn [−3; 3].
Bài 6: Với m thực, xác định giá trị nhỏ nhất của f(x) = x² − 2mx + 3 trên [0; 2].
Lời giải chi tiết
Bài 1: f′(x) = 3(x² − 1). Cần xét x = −2, −1, 1, 2. Các giá trị tương ứng là −2, 2, −2, 2. Vậy giá trị lớn nhất bằng 2 và nhỏ nhất bằng −2.
Bài 2: f′(x) = 4 − 2x = 0 khi x = 2. f(0) = 1, f(2) = 5, f(5) = −4. Vậy lớn nhất là 5 tại x = 2; nhỏ nhất là −4 tại x = 5.
Bài 3: f′(x) = 1 − 4/x², triệt tiêu tại x = 2 trong đoạn xét. f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. Giá trị nhỏ nhất là 4 tại x = 2; lớn nhất là 5 tại hai đầu mút.
Bài 4: Gọi một cạnh bằng x thì cạnh kia bằng 6 − x với 0 < x < 6. Diện tích S(x) = x(6 − x) = 9 − (x − 3)² ≤ 9. Vậy diện tích lớn nhất là 9 khi hai cạnh đều bằng 3.
Bài 5: f′(x) = 4x(x² − 2). Xét x = −3, −√2, 0, √2, 3: giá trị tương ứng là 45, −4, 0, −4, 45. Giá trị lớn nhất là 45 và nhỏ nhất là −4.
Bài 6: f(x) = (x − m)² + 3 − m²; đỉnh x = m. Nếu m ≤ 0 thì f tăng trên đoạn và min = f(0) = 3. Nếu 0 < m < 2 thì min = f(m) = 3 − m². Nếu m ≥ 2 thì f giảm trên đoạn và min = f(2) = 7 − 4m. Hai công thức ở biên m = 0, 2 cho cùng kết quả.