Trong chuyên đề này, học sinh dùng dấu của đạo hàm để nhận xét khoảng đồng biến, nghịch biến và số điểm cực trị. Chú ý phân biệt điểm cực trị với giá trị cực trị.
Đề bài
Bài 1: Cho f(x) = x³ − 3x² + 1. Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
Bài 2: Xét f(x) = x⁴ − 4x². Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Tìm các giá trị cực trị.
Bài 3: Tìm các giá trị thực của m để f(x) = x³ − 3mx có hai điểm cực trị phân biệt.
Bài 4: Với f(x) = x³ − 3x + 2, tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại đúng ba điểm phân biệt.
Bài 5: Xét f(x) = x³ − 6x² + 9x. Tìm khoảng nghịch biến và hiệu hai giá trị cực trị.
Bài 6: Tìm m để hàm số f(x) = x⁴ − 2mx² có đúng ba điểm cực trị.
Lời giải chi tiết
Bài 1: f′(x) = 3x(x − 2), bằng 0 tại x = 0 và x = 2. Đạo hàm dương khi x < 0 hoặc x > 2, âm khi 0 < x < 2. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0), (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Cực đại tại x = 0 với f(0) = 1; cực tiểu tại x = 2 với f(2) = −3.
Bài 2: f′(x) = 4x(x² − 2). Các nghiệm f′(x) = 0 là x = −√2, 0, √2. Xét dấu đạo hàm được hai cực tiểu tại x = ±√2, cùng giá trị −4, và một cực đại tại x = 0, giá trị 0. Vậy có ba điểm cực trị.
Bài 3: f′(x) = 3(x² − m). Đạo hàm có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tại mỗi nghiệm đúng khi m > 0, khi đó x = ±√m. Với m ≤ 0, hàm số không có hai điểm cực trị phân biệt. Vậy m > 0.
Bài 4: f′(x) = 3(x² − 1). Hàm số cực đại tại x = −1, f(−1) = 4; cực tiểu tại x = 1, f(1) = 0. Đường thẳng ngang y = m cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < m < 4.
Bài 5: f′(x) = 3(x − 1)(x − 3). Hàm số nghịch biến trên (1; 3). f(1) = 4 là giá trị cực đại và f(3) = 0 là giá trị cực tiểu. Hiệu hai giá trị cực trị bằng 4.
Bài 6: f′(x) = 4x(x² − m). Với m > 0, f′ có ba nghiệm phân biệt x = 0 và x = ±√m, đều là điểm đổi dấu của đạo hàm; có ba điểm cực trị. Với m ≤ 0 chỉ có một điểm cực trị tại x = 0. Kết luận m > 0.