Sáu phương trình logarit lớp 11 dưới đây yêu cầu đặt điều kiện xác định, dùng quy tắc cộng trừ logarit, đổi cơ số và loại nghiệm ngoại lai. Lời giải cho từng bài nêu rõ bước biến đổi và kiểm tra điều kiện.
Trọng tâm tư duy
- Điều kiện đối số dương phải được viết trước khi gộp hay biến đổi logarit.
- Vận dụng logₐM + logₐN = logₐ(MN), logₐM − logₐN = logₐ(M/N) khi M, N dương.
- Nếu phương trình đại số sinh thêm nghiệm, loại nghiệm vi phạm điều kiện logarit trước khi kết luận.
Đề bài
Bài 1: Giải phương trình log₂(x − 1) + log₂(x − 5) = 3.
Bài 2: Giải phương trình log₃(x + 2) − log₃(x − 1) = 1.
Bài 3: Giải phương trình log₂(x² − 5x + 6) = 2.
Bài 4: Giải phương trình log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = log₂(3x + 5).
Bài 5: Giải phương trình 2log₃(x − 2) = log₃(4x + 1).
Bài 6: Giải phương trình log₂(x − 1) + log₄(x − 1) = 3.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Điều kiện x > 5. Gộp logarit: log₂[(x − 1)(x − 5)] = 3, nên (x − 1)(x − 5) = 8. Suy ra x² − 6x − 3 = 0; nghiệm x = 3 ± 2√3. Chỉ x = 3 + 2√3 thỏa điều kiện x > 5. Vậy nghiệm là x = 3 + 2√3.
Bài 2: Điều kiện x > 1. Ta có log₃[(x + 2)/(x − 1)] = 1 nên (x + 2)/(x − 1) = 3. Suy ra x + 2 = 3x − 3, hay 2x = 5, x = 5/2. Nghiệm này hợp lệ.
Bài 3: Điều kiện x² − 5x + 6 > 0. Phương trình tương đương x² − 5x + 6 = 4, hay x² − 5x + 2 = 0. Suy ra x = (5 − √17)/2 hoặc x = (5 + √17)/2. Cả hai đều làm đối số bằng 4 > 0, nên đều nhận.
Bài 4: Điều kiện x > 1. Gộp logarit vế trái: (x − 1)(x + 1) = 3x + 5, suy ra x² − 3x − 6 = 0. Hai nghiệm là x = (3 ± √33)/2; chỉ x = (3 + √33)/2 lớn hơn 1. Vậy nhận nghiệm này.
Bài 5: Điều kiện x > 2. Từ 2log₃(x − 2) = log₃(4x + 1) suy ra (x − 2)² = 4x + 1, tức x² − 8x + 3 = 0. Ta được x = 4 ± √13; chỉ x = 4 + √13 lớn hơn 2. Vậy nghiệm là x = 4 + √13.
Bài 6: Điều kiện x > 1. Đổi cơ số: log₄(x − 1) = (1/2)log₂(x − 1). Đặt t = log₂(x − 1), ta có t + t/2 = 3, suy ra t = 2. Vậy x − 1 = 4, x = 5 (thỏa điều kiện).