Đạo hàm giúp xét dấu vận tốc tức thời từ phương trình quãng đường theo thời gian. Phần sau xét số điểm cực trị của hàm số khi thay đổi tham số m.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của đạo hàm trước khi biến đổi.
- Trong Chuyên đề cực trị và vận tốc tức thời lớp 11, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Xét chiều chuyển động của vật có s(t) = t³ − 6t² + 9t với t≥0.
Bài 2: Tìm m để f(x) = x³ − 3mx có hai điểm cực trị phân biệt.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = x√(4 − x²) trên [0, 2].
Bài 4: Một hình chữ nhật có hai cạnh x và 12 − x. Dùng đạo hàm tìm diện tích lớn nhất.
Bài 5: Tìm các điểm cực trị của f(x) = x⁴−4x² + 1.
Bài 6: Một chất điểm có vận tốc v(t) = t² − 6t + 5. Tìm các khoảng thời gian t≥0 mà chất điểm chuyển động theo chiều âm.
Lời giải chi tiết
Bài 1: v(t) = s′ = 3(t − 1)(t − 3). Vật đi theo chiều dương trên [0, 1) và (3, +∞), chiều âm trên (1, 3), dừng tại t = 1, 3.
Bài 2: f′ = 3(x² − m). Có hai nghiệm phân biệt khi m>0.
Bài 3: Xét f² = x²(4 − x²). Đặt t = x²∈[0, 4], f² = t(4 − t) = 4 − (t − 2)²≤4. Vì f≥0, max f = 2 khi x = √2.
Bài 4: S = x(12 − x), 0<x<12. S′ = 12 − 2x = 0 ⇒x = 6. S tăng rồi giảm, max 36 khi hình vuông 6 × 6.
Bài 5: f′ = 4x(x² − 2). Điểm tới hạn 0, ±√2. Xét dấu: x = 0 là cực đại f = 1; x = ±√2 là cực tiểu f = −3.
Bài 6: v = (t − 1)(t − 5)<0 khi 1<t<5. Tại t = 1, 5 vật dừng tức thời.