Các quan hệ song song trong lăng trụ và hình chóp qua trung điểm.
Đề bài
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M,N là trung điểm AB, A′B′. Chứng minh MN∥AA′ và MN=AA′.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. M,N là trung điểm SB,SC. Chứng minh MN∥(ABCD).
Bài 3. Trong lăng trụ ABC.A′B′C′, chứng minh AC′∥BA′ có đúng không? Cho phản ví dụ tọa độ.
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, M,N là trung điểm BC, B′C′. Chứng minh AM∥A′N.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Tứ giác ABB′A′ là hình bình hành. M,N là trung điểm hai cạnh đối AB và A′B′; phép tịnh tiến theo AA′ đưa M tới N. Do đó MN∥AA′ và MN=AA′.
Bài 2. Trong tam giác SBC, MN∥BC. BC thuộc đáy, MN không nằm trong đáy, nên MN∥(ABCD).
Bài 3. Không đúng nói chung. Chọn A=(0;0;0), B=(1;0;0), C=(0;1;0), A′=(0;0;1), C′=(0;1;1). AC′=(0;1;1), BA′=(−1;0;1), không cùng phương.
Bài 4. Phép tịnh tiến theo véc-tơ AA′ đưa A,B,C lần lượt tới A′,B′,C′, nên đưa trung điểm M của BC tới N của B′C′. Vì véc-tơ AM bằng véc-tơ A′N, hai đường thẳng tương ứng song song.
Lưu ý khi làm bài
Đường chéo không gian của lăng trụ không song song với cạnh bên nói chung.