Sáu bài phương trình mũ lớp 11 dưới đây luyện đổi cơ số, đặt ẩn phụ dương và biện luận tham số. Các phương trình đều được đưa về dạng đại số rồi kiểm tra điều kiện của ẩn phụ, tránh nhận nghiệm không phù hợp.
Trọng tâm tư duy
- Đưa các lũy thừa về cùng cơ số nếu có thể, ví dụ 4^x = (2^x)².
- Khi đặt t = a^x với a > 0 và a ≠ 1, luôn có t > 0.
- Với phương trình có tham số, đếm số giá trị t dương phân biệt trước khi kết luận số nghiệm x.
Đề bài
Bài 1: Giải phương trình 2^{2x} − 6·2^x + 8 = 0.
Bài 2: Giải phương trình 3^{2x+1} − 10·3^x + 3 = 0.
Bài 3: Giải phương trình 4^x − 10·2^x + 16 = 0.
Bài 4: Giải phương trình 2^{x+1} + 2^{2−x} = 9.
Bài 5: Tìm m để phương trình 2^{2x} − (m + 2)·2^x + 2m = 0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 6: Giải phương trình 2^x + 2^{−x} = 5/2.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Đặt t = 2^x > 0. Khi đó t² − 6t + 8 = 0, hay (t − 2)(t − 4) = 0. Với t = 2 được x = 1; với t = 4 được x = 2. Vậy x ∈ {1; 2}.
Bài 2: Đặt t = 3^x > 0. Phương trình trở thành 3t² − 10t + 3 = 0, hay (3t − 1)(t − 3) = 0. Do đó t = 1/3 hoặc t = 3; suy ra x = −1 hoặc x = 1.
Bài 3: Vì 4^x = (2^x)², đặt t = 2^x > 0. Ta được t² − 10t + 16 = (t − 2)(t − 8) = 0. Suy ra 2^x = 2 hoặc 2^x = 8, nên x = 1 hoặc x = 3.
Bài 4: Đặt t = 2^x > 0; khi đó 2^{x+1} = 2t và 2^{2−x} = 4/t. Từ 2t + 4/t = 9 suy ra 2t² − 9t + 4 = (2t − 1)(t − 4) = 0. Vậy t = 1/2 hoặc t = 4, cho x = −1 hoặc x = 2.
Bài 5: Đặt t = 2^x > 0. Ta có t² − (m + 2)t + 2m = (t − 2)(t − m) = 0. Giá trị t = 2 luôn cho một nghiệm thực. Để có thêm nghiệm thực khác, cần t = m > 0 và m ≠ 2. Kết luận: m > 0, m ≠ 2.
Bài 6: Đặt t = 2^x > 0. Từ t + 1/t = 5/2 suy ra 2t² − 5t + 2 = (2t − 1)(t − 2) = 0. Vậy t = 1/2 hoặc t = 2; nghiệm là x = −1 hoặc x = 1.