Phương trình chứa giá trị tuyệt đối lớp 8 cần nhận diện các điểm đổi dấu, xét đủ trường hợp và đối chiếu nghiệm với phương trình ban đầu. Sáu bài dưới đây tăng dần từ một dấu giá trị tuyệt đối đến tổng hai biểu thức, kèm lời giải cụ thể.
Trọng tâm tư duy
- Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối hoặc các trường hợp A = B, A = −B khi giải |A| = |B|.
- Với tổng nhiều giá trị tuyệt đối, chia trục số theo các điểm đổi dấu rồi lập phương trình trên từng khoảng.
- Kiểm tra nghiệm thỏa điều kiện trường hợp; nghiệm ở ranh giới chỉ ghi một lần.
Đề bài
Bài 1: Giải phương trình |3x − 4| = x + 6.
Bài 2: Giải phương trình |x − 3| + |x + 1| = 8.
Bài 3: Giải phương trình |2x − 1| = |x + 5|.
Bài 4: Giải phương trình |x − 2| = 2|x + 1|.
Bài 5: Giải phương trình |x − 1| + |x − 5| = 6.
Bài 6: Giải phương trình |2x + 1| + |x − 4| = 9.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì |3x − 4| = x + 6 nên x ≥ −6. Nếu 3x − 4 = x + 6 thì x = 5. Nếu 3x − 4 = −(x + 6) thì 4x = −2, x = −1/2. Cả hai nghiệm đều thỏa phương trình gốc. Kết luận: x = 5 hoặc x = −1/2.
Bài 2: Xét ba khoảng theo −1 và 3. Nếu x ≤ −1, tổng bằng 2 − 2x; giải 2 − 2x = 8 được x = −3 (nhận). Nếu −1 ≤ x ≤ 3, tổng luôn bằng 4 nên không có nghiệm. Nếu x ≥ 3, tổng bằng 2x − 2; giải 2x − 2 = 8 được x = 5. Vậy x = −3 hoặc x = 5.
Bài 3: Ta có |A| = |B| khi A = B hoặc A = −B. Với 2x − 1 = x + 5, được x = 6. Với 2x − 1 = −(x + 5), được 3x = −4, hay x = −4/3. Thử lại đều đúng. Kết luận: x = 6 hoặc x = −4/3.
Bài 4: Vì 2|x + 1| = |2x + 2|, phương trình tương đương |x − 2| = |2x + 2|. Xét x − 2 = 2x + 2, được x = −4; xét x − 2 = −(2x + 2), được 3x = 0, x = 0. Cả hai thỏa mãn.
Bài 5: Nếu x ≤ 1, tổng bằng (1 − x) + (5 − x) = 6 − 2x; suy ra x = 0. Nếu 1 ≤ x ≤ 5, tổng bằng 4, không bằng 6. Nếu x ≥ 5, tổng bằng (x − 1) + (x − 5) = 2x − 6; suy ra x = 6. Vậy x = 0 hoặc x = 6.
Bài 6: Các điểm đổi dấu là −1/2 và 4. Nếu x ≤ −1/2, vế trái bằng −(2x + 1) + (4 − x) = 3 − 3x; suy ra x = −2, thỏa khoảng. Nếu −1/2 ≤ x ≤ 4, vế trái bằng 2x + 1 + 4 − x = x + 5; suy ra x = 4. Nếu x ≥ 4, vế trái bằng 2x + 1 + x − 4 = 3x − 3; suy ra x = 4. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = 4.