Ẩn phụ t=x² để quy về phương trình bậc hai.
Đề bài
Bài 1. Giải x⁴−5x²+4=0.
Bài 2. Giải x⁴+2x²−8=0.
Bài 3. Tìm m để phương trình x⁴−(m+1)x²+m=0 có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 4. Tìm m để x⁴−4x²+m=0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Đặt t=x²≥0: t²−5t+4=(t−1)(t−4)=0 ⇒ t=1 hoặc 4. Suy ra x=±1,±2.
Bài 2. Đặt t=x²≥0: t²+2t−8=(t+4)(t−2)=0. Loại t=−4, nhận t=2 ⇒ x=±√2.
Bài 3. Đặt t=x²: (t−1)(t−m)=0. Luôn có t=1 ⇒ x=±1. Để không có thêm nghiệm phân biệt cần m<0 (t=m bị loại) hoặc m=1 (trùng t=1). Nếu m=0 thêm x=0, có 3 nghiệm; m>0,m≠1 có 4 nghiệm.
Bài 4. Đặt t=x²≥0; t²−4t+m=0. Ba nghiệm x phân biệt xảy ra khi một nghiệm t bằng 0 và nghiệm t còn lại dương, tức m=0. Khi m=0: x²(x²−4)=0, các nghiệm −2,0,2. Với m khác 0, nghiệm x theo cặp đối nhau nên số nghiệm thực phân biệt là số chẵn.
Lưu ý khi làm bài
Ẩn phụ t=x² luôn không âm; loại nghiệm t âm trước khi quay lại x.