Đặt tổng–tích để giải hệ đối xứng theo x,y.
Đề bài
Bài 1. Giải hệ x+y=5, x²+y²=13.
Bài 2. Giải hệ x²+y²=10, xy=3.
Bài 3. Tìm m để hệ x+y=m và xy=4 có nghiệm thực.
Bài 4. Giải hệ x+y=−1, x³+y³=−7.
Lời giải chi tiết
Bài 1. (x+y)²=x²+y²+2xy ⇒ xy=6. x,y là hai nghiệm của t²−5t+6=0, tức 2 và 3. Hai cặp nghiệm (2;3),(3;2).
Bài 2. (x+y)²=16 ⇒ x+y=±4. Nếu tổng 4, hai số là 1,3; nếu tổng −4, hai số là −1,−3. Bốn cặp (1;3),(3;1),(−1;−3),(−3;−1).
Bài 3. x,y là nghiệm của t²−mt+4=0. Cần Δ=m²−16≥0 ⇔ m≤−4 hoặc m≥4.
Bài 4. Dùng x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y): −7=−1+3xy ⇒xy=−2. Hai số x,y là nghiệm t²+t−2=0 ⇒t=1 hoặc −2. Hai cặp (1;−2),(−2;1).
Lưu ý khi làm bài
Sau khi tìm tổng và tích vẫn phải xét điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm thực.