Sáu bài tứ giác lớp 8 kết hợp định lý Pythagore với tính chất hình chữ nhật, hình thoi và hình thang; dữ kiện được lựa chọn để có kết quả kiểm tra được.
Trọng tâm tư duy
- Vẽ hoặc xác định đúng tam giác vuông cần dùng.
- Với hình thoi, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.
- Với hình thang vuông/cân, tính độ lệch ngang trước khi tìm chiều cao.
Đề bài
Bài 1: Hình thoi có hai đường chéo dài 10 cm và 24 cm. Tính cạnh, chu vi và diện tích hình thoi.
Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi 46 cm và đường chéo 17 cm. Tìm hai cạnh và diện tích.
Bài 3: Hình thang vuông có hai đáy 13 cm và 25 cm, cạnh bên xiên 13 cm. Tính chiều cao và diện tích.
Bài 4: Hình thoi có cạnh 10 cm và một đường chéo 12 cm. Tính đường chéo còn lại và diện tích.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc tại O. Chứng minh ABCD là hình thoi.
Bài 6: Hình thang cân có hai đáy 12 cm và 22 cm, cạnh bên 13 cm. Tính chiều cao và diện tích.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Nửa hai đường chéo lần lượt 5 và 12 cm. Cạnh hình thoi = √(5²+12²) = 13 cm; chu vi 4×13=52 cm. Diện tích bằng 10×24/2=120 cm².
Bài 2: Gọi hai cạnh a,b > 0. Ta có a+b=23 và a²+b²=17²=289. Từ (a+b)²=a²+b²+2ab suy ra 529=289+2ab, nên ab=120. Hai số có tổng 23, tích 120 là 8 và 15. Vậy hai cạnh 8 cm, 15 cm, diện tích 120 cm².
Bài 3: Độ lệch hai đáy là 25−13=12 cm. Cạnh bên xiên, chiều cao và độ lệch đáy lập tam giác vuông nên h = √(13²−12²)=5 cm. Diện tích bằng (13+25)×5/2=95 cm².
Bài 4: Hai nửa đường chéo cùng với cạnh hình thoi tạo tam giác vuông. Nửa đường chéo đã biết dài 6 cm; nửa đường chéo kia √(10²−6²)=8 cm. Vậy đường chéo còn lại 16 cm; diện tích 12×16/2=96 cm².
Bài 5: Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm nên OA = OC. Vì AC vuông góc BD, các tam giác vuông AOB và COB có OA=OC, OB chung. Theo Pythagore, AB²=OA²+OB²=OC²+OB²=BC², suy ra AB=BC. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Bài 6: Hạ hai đường cao từ hai đầu đáy nhỏ; vì hình thang cân, mỗi đoạn nhô ra ở đáy lớn bằng (22−12)/2=5 cm. Áp dụng Pythagore, h=√(13²−5²)=12 cm. Diện tích bằng (12+22)×12/2=204 cm².