Chuyên đề bất đẳng thức lớp 8 chứng minh bằng bình phương không âm, hoàn thành bình phương, tìm cực trị và nhận diện điều kiện xảy ra dấu bằng.
Trọng tâm tư duy
- Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh về tổng những bình phương không âm.
- Khi tìm cực trị, nêu rõ giá trị của biến làm xảy ra dấu bằng.
- Biểu thức phân thức cần điều kiện mẫu khác 0, mẫu dương khi chia bất đẳng thức.
Đề bài
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x² − 8x + 21 với x thực.
Bài 2: Chứng minh x² + y² ≥ 2xy với mọi x, y thực, và nêu điều kiện dấu bằng.
Bài 3: Chứng minh x² + y² + 2 ≥ 2x + 2y với mọi x, y thực.
Bài 4: Hai số thực x, y có tổng bằng 10. Tìm giá trị lớn nhất có thể của tích xy.
Bài 5: Chứng minh (x² + 1)(y² + 1) ≥ (xy + 1)² với mọi x, y thực.
Bài 6: Với x > 0, chứng minh x + 9/x ≥ 6 và tìm khi nào xảy ra dấu bằng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: A = (x−4)² + 5 ≥ 5. Dấu bằng xảy ra khi x=4. Vậy giá trị nhỏ nhất là 5.
Bài 2: Ta có x²+y²−2xy = (x−y)² ≥ 0. Vì thế x²+y²≥2xy, dấu bằng khi x=y.
Bài 3: Hiệu hai vế bằng x²−2x+1 + y²−2y+1 = (x−1)² + (y−1)² ≥ 0. Dấu bằng khi x=y=1.
Bài 4: Từ (x−y)²≥0 suy ra (x+y)² ≥ 4xy. Vì x+y=10 nên xy≤100/4=25. Dấu bằng khi x=y=5. Vậy tích lớn nhất 25.
Bài 5: Khai triển hiệu: (x²+1)(y²+1)−(xy+1)² = x²+y²−2xy=(x−y)²≥0. Dấu bằng khi x=y.
Bài 6: Vì x>0, ta có x+9/x−6=(x²−6x+9)/x=(x−3)²/x≥0. Vậy x+9/x≥6; dấu bằng khi x=3.