Kỹ thuật dự đoán điểm rơi khi chứng minh bất đẳng thức THCS tập trung đúng bản chất của “điểm rơi”: dự đoán cấu hình xảy ra dấu bằng rồi lựa chọn cách tách, cách đặt biến hoặc bất đẳng thức sao cho điều kiện dấu bằng khớp với dự đoán đó.
Điểm khó cần nhận ra
- Điểm rơi không phải đoán mò; nó thường xuất phát từ tính đối xứng, điều kiện tổng cố định hoặc tỉ lệ giữa các hệ số.
- Sau khi dự đoán, phải dùng bất đẳng thức để chứng minh cận, không được coi dự đoán là lời giải.
- Nếu dấu bằng của công cụ không đạt được dưới điều kiện đề, cần đổi cách tách.
Đề bài
Bài 1: Cho x > 0. Tìm min 2x + 18/x và giải thích cách dự đoán điểm rơi.
Bài 2: Cho x > 1. Tìm min x + 9/(x − 1).
Bài 3: Cho x, y > 0, x + y = 8. Tìm max (x − 1)(y + 1) với x>1.
Bài 4: Cho x, y > 0, x + 2y = 12. Tìm max xy² bằng cách chọn cách tách điều kiện phù hợp dấu bằng.
Bài 5: Cho a, b > 0, a + b = 6. Tìm max ab(a² + b²).
Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh (a + b + c)(1/a + 4/b + 9/c) ≥ 36 và xác định tỉ lệ tại dấu bằng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Hai hạng đạt cân bằng khi 2x = 18/x, suy ra x = 3. AM-GM xác nhận 2x + 18/x ≥ 2√36 = 12. Dấu bằng tại x = 3.
Bài 2: Đặt t = x − 1>0 thì biểu thức bằng t + 1 + 9/t. Điểm rơi của t + 9/t là t = 3. AM-GM cho t + 9/t≥6, nên min bằng 7 khi x = 4.
Bài 3: Đặt a = x − 1>0, b = y + 1>0. Khi đó a + b = x + y = 8. Điểm rơi đối xứng là a = b = 4, nên ab≤16. Suy ra giá trị lớn nhất là 16 tại x = 5, y = 3.
Bài 4: Muốn áp dụng AM-GM cho tích xy², tách điều kiện thành x + y + y = 12. Điểm rơi là x = y = y = 4. Do đó xy²≤4³ = 64, đạt tại x = y = 4.
Bài 5: Đặt p = ab. Ta có p≤9 và a² + b² = 36 − 2p. Biểu thức bằng p(36 − 2p) = 162 − 2(p − 9)²≤162. Điểm rơi p = 9 tương ứng a = b = 3.
Bài 6: Theo Cauchy dạng Engel, 1/a + 4/b + 9/c ≥ (1 + 2 + 3)²/(a + b + c) = 36/(a + b + c). Nhân với a + b + c được bất đẳng thức. Dấu bằng khi 1/a = 2/b = 3/c, tức a:b:c = 1:2:3.
Tự kiểm tra sau khi giải
Ở mỗi bài, hãy ghi riêng ba dòng: dự đoán dấu bằng, công cụ tạo cận, và kiểm tra điều kiện dấu bằng. Đây là cách tránh dùng bất đẳng thức đúng nhưng cận yếu.