Bất đẳng thức từ bình phương không âm lớp 7: Kỹ thuật nền tảng xây dựng cách chứng minh từ một nguyên tắc rất cơ bản: bình phương của mọi số thực không âm. Từ đó học sinh có thể chứng minh nhiều bất đẳng thức mà chưa cần dùng các định lý mạnh hơn.
Phương pháp cần nhớ
- Bắt đầu từ (a−b)² ≥ 0 rồi khai triển để tạo 2ab hoặc tổng bình phương.
- Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai, biến đổi về một bình phương cộng hằng số.
- Sau khi chứng minh, luôn nêu điều kiện xảy ra dấu bằng.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh a² + b² ≥ 2ab với mọi a, b.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của x² − 6x + 10.
Bài 3: Biết x + y = 10. Chứng minh xy ≤ 25.
Bài 4: Chứng minh a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.
Bài 5: Với x > 0, chứng minh x + 1/x ≥ 2.
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của x² + 4x + 7.
Bài 7: Chứng minh (a+b)² ≤ 2(a²+b²).
Bài 8: Biết a+b=6. Tìm giá trị nhỏ nhất của a²+b².
Bài 9: Chứng minh x² + 9 ≥ 6x với mọi x.
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2x² − 8x + 11.
Bài 11: Biết a+b=8. Chứng minh a²+b²≥32.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Ta có (a−b)² ≥ 0. Khai triển: a² − 2ab + b² ≥ 0, suy ra a²+b² ≥ 2ab. Dấu bằng khi a=b.
Bài 2: x²−6x+10 = (x−3)² +1. Vì (x−3)² ≥0 nên giá trị nhỏ nhất là 1, đạt khi x=3.
Bài 3: Từ (x−y)² ≥0 suy ra (x+y)² ≥4xy. Vì x+y=10 nên 100≥4xy, do đó xy≤25. Dấu bằng khi x=y=5.
Bài 4: Tổng (a−b)²+(b−c)²+(c−a)² ≥0. Khai triển được 2(a²+b²+c²−ab−bc−ca)≥0. Chia 2 cho kết quả cần chứng minh. Dấu bằng khi a=b=c.
Bài 5: Vì x>0, từ (x−1)²≥0 suy ra x²−2x+1≥0. Chia cả hai vế cho x>0: x−2+1/x≥0, nên x+1/x≥2. Dấu bằng x=1.
Bài 6: x²+4x+7=(x+2)²+3. Bình phương không âm nên giá trị nhỏ nhất 3, đạt khi x=−2.
Bài 7: Bất đẳng thức tương đương 2a²+2b²−(a+b)²≥0. Vế trái = a²−2ab+b²=(a−b)²≥0. Dấu bằng khi a=b.
Bài 8: Từ (a−b)²≥0 suy ra a²+b²≥(a+b)²/2=36/2=18. Giá trị nhỏ nhất 18, đạt khi a=b=3.
Bài 9: x²−6x+9=(x−3)²≥0 nên x²+9≥6x. Dấu bằng khi x=3.
Bài 10: 2x²−8x+11=2(x−2)²+3 nên giá trị nhỏ nhất là 3, đạt khi x=2.
Bài 11: Từ (a−b)²≥0 suy ra a²+b²≥(a+b)²/2=64/2=32. Dấu bằng khi a=b=4.
Nhận biết hướng biến đổi
Khi thấy hai biến xuất hiện đối xứng, hãy nghĩ đến (a−b)². Khi thấy một tam thức như x²−6x+10, hãy tìm cách thêm bớt để tạo bình phương hoàn chỉnh. Dấu bằng cũng là một phần của lời giải: nó cho biết trường hợp nào đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Nếu chỉ viết bất đẳng thức cuối mà không nêu nguồn gốc từ một bình phương không âm, bài chứng minh chưa đủ chặt chẽ. Với học sinh lớp 7, cách trình bày theo từng phép biến đổi tương đương giúp tránh việc dùng định lý vượt quá kiến thức đang học.