Giải phương trình nghiệm nguyên bằng bất đẳng thức không có nghĩa là thử thật nhiều giá trị. Bất đẳng thức được dùng để chặn biến vào một miền rất nhỏ, hoặc biến một tổng các bình phương không âm thành điều kiện bắt buộc xảy ra dấu bằng.
Điểm khó cần nhận ra
- Trước khi thử nghiệm, hãy tìm cận trên cho |x|, |y| hoặc tích xy.
- Hoàn thành bình phương biến phương trình thành tổng các bình phương bằng một số nhỏ sẽ làm số trường hợp hữu hạn.
- Với phương trình đối xứng nhiều biến, sắp thứ tự x ≤ y ≤ z có thể tạo cận rất mạnh.
Đề bài
Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên dương của x^2 + y^2 = xy + 7.
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên dương của x^2 + xy + y^2 = 49.
Bài 3: Tìm tất cả nghiệm nguyên của x^2 + y^2 + 2x − 4y = 5.
Bài 4: Tìm tất cả nghiệm nguyên của x^2 + y^2 = 10x + 6y − 18.
Bài 5: Tìm các bộ số nguyên dương x, y, z thỏa x + y + z = xyz.
Bài 6: Tìm tất cả bộ số nguyên x, y, z thỏa x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì x^2 + y^2 ≥ 2xy nên từ x^2 + y^2 = xy + 7 suy ra xy ≤ 7. Do đó x^2 + y^2 = xy + 7 ≤ 14, nên x, y đều không vượt 3. Chỉ cần kiểm tra x, y ∈ {1, 2, 3}. Các nghiệm là (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).
Bài 2: Ta có x^2 + xy + y^2 ≥ 3xy vì x^2 + y^2 ≥ 2xy. Giả sử x ≤ y. Nếu x ≥ 5 thì vế trái ít nhất 5^2 + 5 × 5 + 5^2 = 75, lớn hơn 49, nên x chỉ có thể là 1, 2, 3, 4. Với x = 1, cần y^2 + y = 48 nhưng y = 6 cho 42 còn y = 7 cho 56 nên không có y nguyên. Với x = 2, cần y^2 + 2y = 45; y = 5 cho 35 còn y = 6 cho 48. Với x = 3, ta có y^2 + 3y = 40 và y = 5 thỏa. Với x = 4, cần y^2 + 4y = 33; y = 4 cho 32 còn y = 5 cho 45. Vậy với x ≤ y chỉ có (3,5); do tính đối xứng còn có (5,3).
Bài 3: Hoàn thành bình phương: (x + 1)^2 + (y − 2)^2 = 10. Các số chính phương không vượt 10 là 0, 1, 4, 9. Muốn tổng bằng 10 chỉ có 1 + 9 hoặc 9 + 1. Vì vậy x + 1 = ±1, y − 2 = ±3 hoặc x + 1 = ±3, y − 2 = ±1. Ta được 8 nghiệm: (0,5), (0,−1), (−2,5), (−2,−1), (2,3), (2,1), (−4,3), (−4,1).
Bài 4: Chuyển vế và hoàn thành bình phương: (x − 5)^2 + (y − 3)^2 = 16. Tổng hai số chính phương bằng 16 chỉ có 16 + 0 hoặc 0 + 16. Do đó các nghiệm là (9,3), (1,3), (5,7), (5,−1).
Bài 5: Do phương trình đối xứng, giả sử x ≤ y ≤ z. Nếu x ≥ 2 thì y ≥ 2 và xyz ≥ 4z. Trong khi x + y + z ≤ 3z, mâu thuẫn với xyz = x + y + z. Vậy x = 1. Khi đó 1 + y + z = yz, hay yz − y − z = 1, nên (y − 1)(z − 1) = 2. Với y ≤ z và y,z dương, chỉ có y − 1 = 1, z − 1 = 2, tức (x,y,z) = (1,2,3). Vì phương trình đối xứng, mọi hoán vị của (1,2,3) đều là nghiệm.
Bài 6: Chuyển vế và nhân 2: (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2 = 0. Mỗi số hạng là một bình phương không âm, nên tổng bằng 0 chỉ khi cả ba đều bằng 0. Do đó x = y = z. Ngược lại, mọi bộ (t,t,t) với t nguyên đều thỏa phương trình.
Tự kiểm tra sau khi giải
Sau khi dùng bất đẳng thức để chặn biến, phải giải thích vì sao các trường hợp còn lại đã được xét hết. “Thử vài số thấy đúng” chưa phải là lời giải nghiệm nguyên.
Hình minh họa
