Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách xét số dư được nâng lại đúng mức bồi dưỡng: chọn môđun làm lộ mâu thuẫn hoặc ép biến vào ít lớp dư. Mỗi bài đều có một ý tưởng khóa; phép biến đổi chỉ được dùng khi phục vụ trực tiếp cho ý tưởng đó.
Điểm khó cần nhận ra
- Bài được chọn để rèn chọn môđun làm lộ mâu thuẫn hoặc ép biến vào ít lớp dư.
- Ưu tiên cách giải ngắn nhưng phải nêu được nhận xét quyết định.
- Không dùng kiến thức của lớp trên chỉ để làm số liệu trông khó hơn.
Đề bài
Bài 1: Chứng minh phương trình x² + y² = 4k + 3 không có nghiệm nguyên.
Bài 2: Chứng minh nếu x² + y² chia hết cho 3 thì cả x,y cùng chia hết cho 3.
Bài 3: Chứng minh không có số chính phương nào chia 8 dư 3, 5, 6 hoặc 7.
Bài 4: Chứng minh phương trình x² + y² = 3z² không có nghiệm nguyên nguyên thủy khác 0.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương.
Bài 6: Chứng minh phương trình x² + y² = 8k + 6 không có nghiệm nguyên.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Bình phương khi chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1; tổng hai bình phương chỉ có thể dư 0, 1, 2, không thể dư 3.
Bài 2: Bình phương modulo 3 chỉ là 0 hoặc 1. Tổng bằng 0 modulo 3 chỉ xảy ra 0 + 0, nên x,y đều chia 3.
Bài 3: Xét số nguyên theo modulo 8; bình phương chỉ có thể dư 0, 1, 4. Vì vậy các dư 3, 5, 6, 7 không thể xuất hiện.
Bài 4: Modulo 3, x² + y²≡0 buộc x,y chia 3; từ phương trình suy ra z cũng chia 3, trái với điều kiện gcd(x,y,z) = 1.
Bài 5: Bình phương các chữ số 0–9 cho tận cùng chỉ 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Bài 6: Bình phương modulo 8 chỉ có thể là 0, 1, 4. Tổng hai bình phương có thể là 0, 1, 2, 4, 5, nhưng không thể 6. Vì vậy phương trình vô nghiệm.
Hình minh họa
