Chữ số tận cùng và đồng dư thức lớp 6: Quy tắc, chu kỳ và bài tập không dừng ở việc nhớ chu kì mà yêu cầu chọn đúng môđun, ghép nhiều lũy thừa và dùng số dư để chứng minh chia hết cho mọi n.
Điểm khó cần nhận ra
- Chu kì chữ số tận cùng thường có độ dài 1, 2 hoặc 4; cần xác định vị trí của số mũ trong chu kì.
- Khi chứng minh chia hết, hãy tìm một lũy thừa nhỏ đã có số dư 1 rồi nâng lên lũy thừa tiếp.
- Với tổng nhiều lũy thừa, chỉ cần xử lí số dư của từng hạng thay vì tính giá trị thật.
Đề bài
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 7^2026 + 3^2025.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 2^2026 + 3^2026 + 4^2026.
Bài 3: Tìm tất cả số tự nhiên n để 7^n có chữ số tận cùng bằng 3.
Bài 4: Chứng minh 3^(2n) − 1 chia hết cho 8 với mọi n ≥ 1.
Bài 5: Chứng minh 2^(4n + 2) − 4 chia hết cho 60 với mọi n ≥ 1.
Bài 6: Chứng minh 7^(2n) − 1 chia hết cho 48 với mọi n ≥ 1.
Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của 1^2026 + 2^2026 + … + 9^2026.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Lũy thừa của 7 có chu kì chữ số tận cùng 7, 9, 3, 1. Vì 2 026 chia 4 dư 2 nên 7^2026 tận cùng 9. Lũy thừa của 3 có chu kì 3, 9, 7, 1; 2 025 chia 4 dư 1 nên tận cùng 3. Tổng tận cùng như 9 + 3 = 12 nên chữ số tận cùng là 2.
Bài 2: Với số mũ 2 026 chia 4 dư 2: 2^2026 tận cùng 4, 3^2026 tận cùng 9. Lũy thừa của 4 luân phiên 4, 6 nên số mũ chẵn cho tận cùng 6. Tổng các chữ số tận cùng là 4 + 9 + 6 = 19 nên kết quả tận cùng 9.
Bài 3: Chu kì tận cùng của 7^n là 7, 9, 3, 1 theo chu kì 4. Chữ số 3 nằm ở vị trí thứ 3 nên n chia 4 dư 3. Vậy n = 4k + 3 với k là số tự nhiên không âm.
Bài 4: Ta có 3² = 9 chia 8 dư 1. Vì vậy 3^(2n) = (3²)^n cũng chia 8 dư 1. Trừ 1 thì được một số chia hết cho 8.
Bài 5: Ta có 2^(4n + 2) − 4 = 4(16^n − 1). Vì 16 chia 15 dư 1 nên 16^n − 1 chia hết cho 15. Do đó toàn biểu thức chia hết cho 4 × 15 = 60.
Bài 6: Vì 7² = 49 = 48 + 1 nên 7^(2n) = (7²)^n chia 48 dư 1. Bởi vậy 7^(2n) − 1 chia hết cho 48.
Bài 7: Xét từng chữ số tận cùng với số mũ 2 026: lần lượt được 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tổng là 45 nên chữ số tận cùng của toàn bộ tổng là 5.
Tự kiểm tra sau khi giải
Không chỉ ghi kết quả của chu kì; hãy nêu rõ chu kì bắt đầu từ đâu, độ dài bao nhiêu và số mũ rơi vào vị trí nào. Với chứng minh chia hết, cần chỉ rõ môđun đang xét.
Hình minh họa
