Dùng bình phương và bất đẳng thức để tìm cận đúng, kèm điều kiện xảy ra dấu bằng.
Đề bài
Bài 1. Cho x,y ≥ 0, x + 2y = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x² + 4y².
Bài 2. Cho x > 0. Chứng minh x + 9/x ≥ 6 và xác định khi bằng.
Bài 3. Cho x,y thực với x + y = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = 2x² + y².
Bài 4. Cho x,y>0 và xy=16. Tìm min của x+y và điều kiện đạt.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Đặt a = x, b = 2y thì a+b = 8. Từ (a−b)² ≥ 0 suy ra a²+b² ≥ (a+b)²/2 = 32. Dấu bằng khi x = 2y = 4, tức x=4, y=2.
Bài 2. Từ (x−3)² ≥ 0, chia cho x > 0: x + 9/x − 6 ≥ 0. Dấu bằng x=3.
Bài 3. Thay y=6−x: Q=3x²−12x+36=3(x−2)²+24 ≥ 24. Đạt tại (x,y)=(2,4).
Bài 4. Vì (√x−√y)²≥0, x+y≥2√(xy)=8. Dấu bằng khi x=y=4, vừa thỏa xy=16. Vậy min=8.
Lưu ý khi làm bài
Muốn công bố giá trị nhỏ nhất cần chỉ ra được giá trị đó đạt tại một bộ số hợp lệ.