Bất đẳng thức dạng tổng lũy thừa lớp 7 thường trở nên ngắn khi biến tổng thành cấp số nhân rồi so sánh với một lũy thừa ở biên. Thay vì cộng từng số, hãy nhân cả tổng với cơ số rồi lấy hai biểu thức trừ nhau.
Điểm khó cần nhận ra
- Tổng 1 + q + q^2 + … + q^n có cấu trúc lặp; nhân với q sẽ làm các hạng tử lệch đúng một bậc.
- Muốn chứng minh tổng nhỏ hơn một lũy thừa, nên tìm công thức chính xác của tổng trước rồi mới so sánh.
- Khi số mũ cách nhau 2 đơn vị, hãy coi 2^2 = 4 là cơ số mới.
Đề bài
Bài 1: Không dùng công thức có sẵn, tính S = 1 + 2 + 2^2 + … + 2^n.
Bài 2: Tính T = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^n với n ≥ 1.
Bài 3: Chứng minh 1 + 2 + 2^2 + … + 2^n < 2^(n + 1).
Bài 4: Chứng minh 1 + 2^2 + 2^4 + … + 2^(2n) < 2^(2n + 1) với n ≥ 1.
Bài 5: Chứng minh 3 + 3^2 + … + 3^n < 3^(n + 1)/2 với n ≥ 1.
Bài 6: Tìm n biết 1 + 2 + 2^2 + … + 2^n = 1 023.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Nhân cả tổng với 2: 2S = 2 + 2^2 + … + 2^(n + 1). Lấy 2S − S, các hạng ở giữa triệt tiêu, được S = 2^(n + 1) − 1.
Bài 2: Nhân T với 3: 3T = 3^2 + 3^3 + … + 3^(n + 1). Lấy 3T − T = 3^(n + 1) − 3. Do đó 2T = 3^(n + 1) − 3, nên T = [3^(n + 1) − 3] : 2.
Bài 3: Theo Bài 1, tổng bằng 2^(n + 1) − 1. Vì 2^(n + 1) − 1 < 2^(n + 1), bất đẳng thức đúng. Điểm quan trọng là chứng minh bằng công thức của tổng, không chỉ nói “lũy thừa tăng nhanh”.
Bài 4: Đặt U = 1 + 4 + 4^2 + … + 4^n vì 2^(2k) = 4^k. Nhân U với 4 rồi trừ U được 3U = 4^(n + 1) − 1, nên U = [4^(n + 1) − 1] : 3. Cần chứng minh U < 2 × 4^n. Nhân hai vế với 3: 4^(n + 1) − 1 < 6 × 4^n, điều này đúng vì 4 × 4^n − 1 < 6 × 4^n.
Bài 5: Theo Bài 2, tổng bằng [3^(n + 1) − 3] : 2. Vì 3^(n + 1) − 3 < 3^(n + 1), nên tổng nhỏ hơn 3^(n + 1)/2.
Bài 6: Theo Bài 1, 2^(n + 1) − 1 = 1 023, nên 2^(n + 1) = 1 024 = 2^10. Vì vậy n + 1 = 10 và n = 9.
Nhận xét
Kỹ thuật nhân rồi trừ không chỉ dùng để tính tổng; nó còn tạo ra cận rất nhanh cho bất đẳng thức tổng lũy thừa.
hay quá !!!!!!!!!!!!!
ở câu 13 ở phần hướng dẫn dòng đầu,ae nhớ chú ý ko phải 2005 mà là 2015 nha,hiểu lầm làm ngồi 30p cố hiểu