Chuyên đề chứng minh hình học đường tròn thi vào 10 lớp 9 – Bài tập nâng cao có lời giải tập trung vào đường tròn và hình học thi vào 10.
Phương pháp cần nhớ
- Dùng tính chất góc nội tiếp, góc ở tâm và tổng hai góc đối khi xét tứ giác nội tiếp.
- Với tiếp tuyến, bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.
- Khi tính đoạn thẳng, nêu rõ tam giác hoặc định lí được sử dụng.
Đề bài
Bài 1: Tứ giác ABCD có ∠ABC = 75° và ∠ADC = 105°. Chứng minh bốn đỉnh A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (giả sử tứ giác lồi).
Bài 2: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính 5 cm, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Biết OM = 13 cm. Tính MA và MB.
Bài 3: Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn theo thứ tự A, B, C, D. Biết ∠ABD = 33°. Tính ∠ACD và giải thích.
Bài 4: Một dây AB của đường tròn tâm O bán kính 10 cm dài 16 cm. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống AB. Tính OH.
Bài 5: Từ điểm M ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tại A, B. Nếu ∠AOB = 110°, tính ∠AMB và giải thích.
Bài 6: Hai dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại P trong đường tròn. Biết PA = 3 cm, PB = 12 cm, PC = 4 cm. Tính PD.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Hai góc đối ∠ABC và ∠ADC có tổng 75° + 105° = 180°. Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, ABCD là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: OA ⊥ MA tại tiếp điểm A. Tam giác OAM vuông tại A nên MA = √(OM² − OA²) = √(169 − 25) = 12 cm. Hai tiếp tuyến từ M bằng nhau nên MB = 12 cm.
Bài 3: Hai góc ∠ABD và ∠ACD cùng chắn cung AD không chứa B và C, nên bằng nhau. Do đó ∠ACD = 33°.
Bài 4: Đường vuông góc từ tâm xuống dây đi qua trung điểm dây nên AH = 8 cm. Tam giác OHA vuông tại H: OH = √(10² − 8²) = 6 cm.
Bài 5: OA ⊥ MA, OB ⊥ MB nên hai góc tại A, B của tứ giác AOBM đều 90°. Do tổng bốn góc là 360°, ∠AMB = 360° − 90° − 90° − 110° = 70°.
Bài 6: Theo hệ thức hai dây cắt nhau tại điểm trong đường tròn, PA × PB = PC × PD. Suy ra 3 × 12 = 4 × PD, nên PD = 9 cm.