Các bài về parabol y = ax² yêu cầu tìm hệ số từ một điểm thuộc đồ thị, rồi xét tiếp xúc với đường thẳng. Phần sau dùng dạng bình phương hoàn chỉnh để xác định đỉnh và cực trị.
Phương pháp cần nhớ
- Viết hàm bậc hai dưới dạng bình phương hoàn chỉnh để xác định đỉnh và trục đối xứng.
- Muốn tìm giao điểm của parabol và đường thẳng, giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Hai đồ thị tiếp xúc khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép.
Đề bài
Bài 1: Parabol y = ax² đi qua A(2;8). Tìm a. Đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc parabol khi nào? Tìm m.
Bài 2: Cho y = x² − 4x + 3. Viết dạng bình phương hoàn chỉnh và suy ra đỉnh, trục đối xứng, giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt parabol y = x² tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa x1² + x2² = 10. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Bài 4: Parabol y = x² và đường thẳng y = 3x − 2 cắt nhau tại A, B. Tính độ dài hình chiếu của AB lên trục Ox.
Bài 5: Tìm điểm trên parabol y = x² − 2x có tung độ bằng 3 và tính khoảng cách giữa hai điểm đó.
Bài 6: Cho f(x) = x² − 2(m + 1)x + m². Tìm m để giá trị nhỏ nhất của f bằng −5. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì A(2; 8) thuộc parabol y = ax² nên 8 = 4a, suy ra a = 2. Hoành độ giao điểm với y = 2x + m thỏa 2x² − 2x − m = 0. Đường thẳng tiếp xúc parabol khi phương trình này có nghiệm kép, tức Δ = (−2)² − 4·2·(−m) = 4 + 8m = 0. Suy ra m = −1/2. Khi đó nghiệm kép là x = 1/2 và tung độ là y = 1/2. Vậy đường thẳng tiếp xúc cần tìm là y = 2x − 1/2, tại điểm (1/2; 1/2).
Bài 2: y = (x − 2)² − 1. Đỉnh I(2;−1), trục x = 2, giá trị nhỏ nhất −1.
Bài 3: Phương trình x² − mx − 1 = 0. x1 + x2 = m, x1x2 = −1. x1² + x2² = m² + 2 = 10 ⇒ m = ±2√2.
Bài 4: x² = 3x − 2 ⇒ x = 1, 2. Độ dài hình chiếu lên Ox là |2 − 1| = 1.
Bài 5: x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 hoặc 3. Hai điểm (−1, 3), (3, 3), khoảng cách 4.
Bài 6: Đỉnh có min = m² − (m + 1)² = −2m − 1. Đặt −2m − 1 = −5 ⇒ m = 2.