Đường tròn và tiếp tuyến HSG Hình học 9: Bài tập chứng minh tập trung vào bán kính vuông góc tiếp tuyến, hai tiếp tuyến từ một điểm, góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và các tứ giác nội tiếp. Bài giải nêu rõ chuỗi suy luận thay vì chỉ ghi tên định lý.
Phương pháp cần nhớ
- Nối tâm với tiếp điểm ngay khi thấy tiếp tuyến; bán kính đó vuông góc với tiếp tuyến.
- Hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài đến đường tròn có độ dài bằng nhau.
- Muốn chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, tìm một cặp góc đối bù hoặc hai góc cùng chắn một đoạn.
Đề bài
Bài 1: Cho đường tròn (O), tiếp tuyến tại A và dây AB như hình. Chứng minh góc giữa tiếp tuyến tại A và AB bằng góc nội tiếp chắn cung AB ở phía đối diện.
Bài 2: Từ điểm M ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh OM là đường trung trực của AB.
Bài 3: Cho đường tròn đường kính AC, điểm B thuộc đường tròn. Chứng minh tam giác ABC vuông tại B và suy ra AB²+BC²=AC².
Bài 4: Từ M ngoài (O), kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC. Chứng minh MA²=MB·MC.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến tại A cắt BC kéo dài tại T. Chứng minh ∠TAB = ∠ACB.
Bài 6: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A có tiếp tuyến chung tại A. Chứng minh đường nối hai tâm đi qua A.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD có ∠A+∠C=180°. Chứng minh ABCD nội tiếp.
Bài 8: Cho đường tròn (O) và điểm M ngoài. MA, MB là hai tiếp tuyến. Nếu ∠AMB=60° và OA=5 cm, tính OM.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Vì tiếp tuyến tại A vuông góc OA, góc giữa tiếp tuyến và AB bằng 90°−∠OAB. Trong tam giác cân AOB, ∠OAB=(180°−∠AOB)/2. Suy ra góc tiếp tuyến–dây bằng ∠AOB/2, đúng bằng góc nội tiếp chắn cùng cung AB. Đpcm.
Bài 2: MA=MB (hai tiếp tuyến từ M), OA=OB (bán kính). Cả O và M đều cách đều A,B nên cùng nằm trên đường trung trực của AB. Vì vậy đường OM chính là đường trung trực AB.
Bài 3: Góc ABC chắn đường kính AC nên bằng 90° (định lý Thales). Tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore được AB²+BC²=AC².
Bài 4: Nối O với A và hạ các quan hệ đồng dạng chuẩn: góc MAB bằng góc ACB (tiếp tuyến–dây), còn góc AMB chung theo cát tuyến. Hai tam giác MAB và MCA đồng dạng, suy ra MA/MB = MC/MA, do đó MA²=MB·MC.
Bài 5: Đây là định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: góc giữa tiếp tuyến AT và dây AB bằng góc nội tiếp chắn cùng cung AB, tức ∠TAB=∠ACB. Có thể chứng minh bằng bán kính OA và góc ở tâm như Bài 1.
Bài 6: Tại điểm tiếp xúc A, bán kính của mỗi đường tròn đều vuông góc tiếp tuyến chung. Qua A chỉ có một đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến, nên hai bán kính O1A và O2A cùng nằm trên một đường thẳng. Vì vậy O1, A, O2 thẳng hàng.
Bài 7: Điều kiện một cặp góc đối của tứ giác bù nhau là điều kiện đủ để tứ giác nội tiếp. Vì ∠A+∠C=180°, suy ra ABCD nội tiếp.
Bài 8: OM là phân giác góc AMB vì hai tam giác vuông OAM và OBM bằng nhau. ∠AMO=30°. Trong tam giác vuông OAM, cạnh OA=5 đối diện góc30° nên bằng nửa cạnh huyền OM. Do đó OM=10 cm.