Bài toán tối ưu thực tế thi vào 10 lớp 9: Lập hàm và tìm cực trị không chỉ thay số vào công thức. Học sinh phải chọn biến, lập biểu thức bậc hai từ dữ kiện thực tế, xác định miền giá trị và dùng đỉnh parabol hoặc hoàn thành bình phương để tìm phương án tốt nhất.
Phương pháp cần nhớ
- Mọi biến thực tế đều cần miền giá trị: độ dài dương, số lượng không âm, giá bán hợp lý.
- Đưa đại lượng cần tối ưu về dạng ax²+bx+c rồi biến đổi hoặc dùng tọa độ đỉnh.
- Sau khi tìm cực trị toán học, phải diễn giải lại bằng đơn vị và kiểm tra tính khả thi.
Đề bài
Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi 80 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Bài 2: Một cửa hàng bán 100 sản phẩm/ngày với giá 200 nghìn đồng. Cứ giảm 10 nghìn thì bán thêm 10 sản phẩm. Bỏ qua chi phí, nên giảm bao nhiêu để doanh thu lớn nhất?
Bài 3: Một mảnh vườn dựa vào tường nên chỉ cần rào ba cạnh, tổng dây rào 60 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Bài 4: Một quả bóng có độ cao h(t)=−5t²+20t+1 (m), t tính bằng giây. Tìm độ cao lớn nhất.
Bài 5: Một số dương x và y có tổng 30. Tìm tích xy lớn nhất.
Bài 6: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8 m và diện tích 240 m². Nếu tăng cả hai kích thước cùng một lượng x, diện tích mới là 360 m². Tìm x.
Bài 7: Giá vé hiện tại 50 nghìn, có 400 người mua. Mỗi khi tăng 5 nghìn thì giảm 20 người. Tìm mức tăng để doanh thu lớn nhất theo mô hình này.
Bài 8: Một vật chuyển động có quãng đường s(t)=−2t²+16t (m) trong khoảng 0≤t≤8. Tìm giá trị lớn nhất của s.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Gọi một cạnh x, cạnh kia 40−x. Diện tích S=x(40−x)=−(x−20)²+400. Lớn nhất 400 khi x=20. Hình tối ưu là 20 m × 20 m.
Bài 2: Gọi x là số lần giảm 10 nghìn. Giá mới 200−10x, lượng bán 100+10x. Doanh thu theo nghìn đồng: R=(200−10x)(100+10x)=−100x²+1000x+20000=−100(x−5)²+22500. Lớn nhất khi x=5, tức giảm 50 nghìn, giá 150 nghìn.
Bài 3: Gọi chiều rộng vuông góc tường là x, cạnh dọc tường là 60−2x. S=x(60−2x)=−2(x−15)²+450. Diện tích lớn nhất khi x=15, cạnh còn lại 30. Kích thước 15 m × 30 m.
Bài 4: h(t)=−5(t²−4t)+1=−5[(t−2)²−4]+1=−5(t−2)²+21. Cao nhất 21 m tại t=2 giây.
Bài 5: xy=x(30−x)=−(x−15)²+225 nên tích lớn nhất 225 khi x=y=15.
Bài 6: Kích thước cũ có hiệu 8 và tích 240; cặp dương là 12 và20. Diện tích mới (12+x)(20+x)=360 →x²+32x−120=0 →(x+?); nghiệm dương x = -16 + 2√94, xấp xỉ 3,39. Vì đề không yêu cầu nguyên, x=−16+2√94 ≈3,39 m.
Bài 7: Gọi x là số lần tăng 5 nghìn. Giá 50+5x, số người 400−20x. Doanh thu nghìn đồng R=(50+5x)(400−20x)=−100x²+1000x+20000=−100(x−5)²+22500. Tối ưu khi x=5, tăng 25 nghìn, giá vé 75 nghìn.
Bài 8: s(t)=−2(t²−8t)=−2[(t−4)²−16]=−2(t−4)²+32. Giá trị lớn nhất 32 m tại t=4.