Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách – thể tích tập trung vào tối ưu khoảng cách. Độ khó nằm ở việc đọc điều kiện, chọn quan hệ phù hợp và nối các bước suy luận; số liệu không được cố tình làm lớn chỉ để tạo cảm giác khó.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của tối ưu khoảng cách trước khi biến đổi.
- Trong Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Doanh thu R = 100x − x², chi phí C = 20x + 400. Tìm x để lợi nhuận lớn nhất. Chỉ ra phép biến đổi giúp rút ngắn lời giải thay vì tính trực tiếp dài dòng. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Bài 2: Hình trụ có thể tích100π. Biểu diễn diện tích toàn phần theo r rồi nêu bài toán tối ưu. Nêu rõ điều kiện xác định hoặc giả thiết được dùng ở bước quyết định. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Bài 3: Hình chữ nhật chu vi40 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất. Sau khi giải, kiểm tra nghiệm, dấu hoặc miền tham số trước khi kết luận. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Bài 4: Tìm min f(x) = x + 9/x với x>0 bằng đạo hàm và so với AM-GM. Chỉ ra phép biến đổi giúp rút ngắn lời giải thay vì tính trực tiếp dài dòng. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Bài 5: Tấm bìa vuông30 cm cắt bốn hình vuông cạnh x rồi gấp hộp không nắp. Lập V(x) và miền x. Nêu rõ điều kiện xác định hoặc giả thiết được dùng ở bước quyết định. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Bài 6: Tìm điểm M trên parabol y = x² gần A(0, 3) nhất. Sau khi giải, kiểm tra nghiệm, dấu hoặc miền tham số trước khi kết luận. Trình bày theo trọng tâm Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách.
Lời giải chi tiết
Bài 1: P = R − C = −x² + 80x − 400 = 1200 − (x − 40)², max1200 tại x = 40.
Bài 2: h = 100/r². S = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 200π/r, r>0. Tối ưu S bằng đạo hàm.
Bài 3: Gọi x là một cạnh, cạnh kia20 − x. S = x(20 − x) = 100 − (x − 10)²≤100. Hình vuông10 × 10.
Bài 4: f' = 1 − 9/x² = 0⇒x = 3, min6. AM-GM cũng cho x + 9/x≥2√9 = 6.
Bài 5: Đáy (30 − 2x)², cao x. V = x(30 − 2x)², miền 0 Bài 3: P = R − C = −x² + 80x − 400 = 1200 − (x − 40)², max1200 tại x = 40. Bài 4: D² = x² + (x² − 3)². Đặt t = x²≥0: D² = t + (t − 3)² = t² − 5t + 9 = (t − 5/2)² + 11/4. t = 5/2 ⇒x = ±√(5/2), y = 5/2. Bài 5: h = 100/r². S = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 200π/r, r>0. Tối ưu S bằng đạo hàm. Bài 6: f' = 1 − 9/x² = 0⇒x = 3, min6. AM-GM cũng cho x + 9/x≥2√9 = 6.
Bài 6: D² = x² + (x² − 3)². Đặt t = x²≥0: D² = t + (t − 3)² = t² − 5t + 9 = (t − 5/2)² + 11/4. t = 5/2 ⇒x = ±√(5/2), y = 5/2.
Tự kiểm tra và mở rộng
Phần tự kiểm tra của Bài toán thực tế và tối ưu lớp 12: tối ưu khoảng cách – thể tích nên tập trung vào Bài 1 và Bài 4: ghi riêng miền xác định, điểm tới hạn hoặc giả thiết hình học trước khi tính; sau đó kiểm tra xem kết luận có thay đổi khi một tham số hoặc dữ kiện được điều chỉnh nhỏ hay không. Khi một lời giải có nhiều nghiệm hoặc nhiều trường hợp, hãy xác nhận đã loại đủ nghiệm ngoại lai và đã xét đủ dấu. Mục tiêu là kiểm soát lập luận, không phải chỉ thu được một con số cuối.