Tối ưu thể tích và khoảng cách với điều kiện miền giá trị.
Đề bài
Bài 1. Tấm bìa vuông cạnh 20 cm, cắt mỗi góc hình vuông cạnh x rồi gấp hộp không nắp. Tìm x để thể tích lớn nhất.
Bài 2. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho tổng MA²+MB² nhỏ nhất, A(1;2), B(5;4).
Bài 3. Một hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 5, đáy nằm trên đường kính. Tìm diện tích lớn nhất.
Bài 4. Hình chữ nhật có diện tích 100 m². Tìm chu vi nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Miền 0<x<10. V(x)=x(20−2x)². V′(x)=(20−2x)(20−6x). V tăng đến x=10/3 rồi giảm; Vmax=(10/3)·(40/3)²=16000/27 cm³.
Bài 2. Đặt M(t;0). MA²+MB²=(t−1)²+4+(t−5)²+16=2(t−3)²+28. Min 28 tại M(3;0).
Bài 3. Gọi nửa chiều rộng x≥0, chiều cao y=√(25−x²). S=2x√(25−x²). Vì (x²+y²)=25 nên 2xy≤x²+y²=25. Max S=25 tại x=y=5/√2.
Bài 4. Gọi cạnh x>0, cạnh kia 100/x. Chu vi P=2(x+100/x)≥2·2√100=40 theo AM–GM. Bằng khi x=10; hình vuông cạnh 10 cho chu vi nhỏ nhất 40 m.
Lưu ý khi làm bài
Mô hình thể tích phải ghi miền để các kích thước luôn dương.