Bài toán số dư và chu kỳ lớp 6 dành cho học sinh giỏi mở rộng từ chia có dư sang chu kỳ của chữ số tận cùng, số dư của lũy thừa và tổng dài. Học sinh được hướng dẫn lập bảng chu kỳ ngắn rồi suy ra trường hợp có số mũ lớn.
Phương pháp cần nhớ
- Tính vài lũy thừa đầu để tìm chu kỳ số dư; không cần tính toàn bộ lũy thừa lớn.
- Nếu số mũ chia hết cho độ dài chu kỳ, lấy vị trí cuối chu kỳ thay vì vị trí 0.
- Tổng dài có thể chia thành các chu kỳ có cùng số dư rồi xử lý phần còn lại.
Đề bài
Bài 1: Tìm số dư của 2^20 khi chia cho 7.
Bài 2: Tìm số dư của 3^25 khi chia cho 8.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của 7^2027.
Bài 4: Tìm số dư của 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^10 khi chia cho 3.
Bài 5: Tìm số dư của 5^100 + 3^100 khi chia cho 4.
Bài 6: Một số tự nhiên N chia 9 dư 7. Hỏi 5N + 8 chia 9 dư bao nhiêu?
Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của 2^1 + 2^2 + … + 2^20.
Bài 8: Chứng minh 10^n − 1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 bằng cách nhìn cấu tạo số.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Các số dư của 2^n khi chia 7 lặp 2, 4, 1 theo chu kỳ 3. 20 chia 3 dư 2 nên số dư là 4.
Bài 2: 3² = 9 chia 8 dư 1, nên cứ hai lần nhân 3 thì quay về số dư 1. Số mũ 25 là số lẻ, tương ứng số dư như 3^1. Đáp số: 3.
Bài 3: Chữ số tận cùng của 7^n lặp 7, 9, 3, 1. 2027 chia 4 dư 3 nên chữ số tận cùng là 3.
Bài 4: Khi chia 3, 2^n có số dư luân phiên 1, 2. Từ 2^0 đến 2^10 có 11 số hạng: năm cặp (1+2) chia hết cho 3 và còn một số hạng 2^10 có số dư 1. Tổng chia 3 dư 1.
Bài 5: 5 chia 4 dư 1 nên 5^100 chia 4 dư 1. 3² chia 4 dư 1 nên 3^100 = (3²)^50 chia 4 dư 1. Tổng chia 4 dư 2.
Bài 6: Viết N = 9q + 7. Khi đó 5N + 8 = 45q + 35 + 8 = 45q + 43 = 9(5q + 4) + 7. Số dư là 7.
Bài 7: Chữ số tận cùng của 2^n lặp 2,4,8,6; tổng một chu kỳ là 20 có tận cùng 0. Hai mươi số hạng tạo đúng 5 chu kỳ, nên tổng có chữ số tận cùng 0.
Bài 8: 10^n − 1 là số gồm n chữ số 9: 9, 99, 999, … Mỗi số đó có tổng chữ số bằng 9n nên chia hết cho 9. Vậy 10^n − 1 luôn chia hết cho 9.