Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân – bằng nhau – trung điểm dành cho học sinh đã nắm chắc kiến thức lớp 7 và muốn luyện sâu tam giác cân. Các bài có yêu cầu suy ngược, biện luận, kiểm tra điều kiện hoặc kết nối nhiều kiến thức trong cùng chủ đề.
Trọng tâm tư duy
- Xác định định lí, tính chất hoặc phép biến đổi trung tâm của tam giác cân.
- Không bỏ qua điều kiện xác định, dấu, tính chia hết hoặc cấu hình hình học khi kết luận.
- Ưu tiên lời giải ngắn có lí do; nếu có nhiều trường hợp phải chỉ rõ vì sao đã xét đủ.
Đề bài
Bài 1: Tam giác ABC có AB = AC. M là trung điểm BC. Chứng minh AM vuông góc BC mà không dùng tính chất đường cao của tam giác cân như một kết luận có sẵn. Trình bày bước suy luận mấu chốt trước phép tính cuối cùng. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 2: Tam giác ABC có góc A = 50°, B = 60°. Trên tia đối của CB lấy D sao cho CD = CA. Tính góc CAD. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 3: Hai đường thẳng a∥b. Một cát tuyến tạo với a góc 58°. Tìm tất cả số đo góc nhọn và góc tù tạo bởi cát tuyến với hai đường song song. Sau khi giải, đối chiếu lại nghiệm hoặc kết luận với điều kiện ban đầu. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 4: Cho ba đường thẳng a, b, c. Biết a⊥c và b⊥c. Chứng minh a∥b. Nếu chỉ biết a tạo với c góc 70° và b cũng tạo với c góc 70° thì có đủ kết luận a∥b không? Trình bày bước suy luận mấu chốt trước phép tính cuối cùng. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 5: Tam giác ABC cân tại A, góc A = 40°. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Tính góc BDC. Trong lời giải, nêu rõ tính chất hoặc phép biến đổi quyết định. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 6: Trong tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Chứng minh DE∥BC bằng cách dựng thêm điểm hoặc dùng tam giác bằng nhau. Sau khi giải, đối chiếu lại nghiệm hoặc kết luận với điều kiện ban đầu. Trình bày theo trọng tâm Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân.
Bài 7: Tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm BC. Chứng minh AM là phân giác góc A.
Bài 8: Hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau. Nêu kết luận và dùng để suy ra một cặp góc tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Xét ΔABM và ΔACM: AB = AC, BM = CM, AM chung ⇒ hai tam giác bằng nhau. Suy ra ∠AMB = ∠AMC; hai góc kề bù nên mỗi góc 90°, do đó AM⊥BC.
Bài 2: C = 70°. Vì CD = CA, tam giác ACD cân tại C. Góc ACD là 180°−70° = 110° (do CD đối CB), nên CAD = (180°−110°)/2 = 35°.
Bài 3: Các góc đồng vị/so le trong bằng 58°. Góc kề bù bằng 180°−58° = 122°. Vì vậy chỉ có hai số đo 58° và 122°.
Bài 4: Hai đường cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Ở trường hợp 70°, chưa đủ nếu không biết hai góc ở vị trí tương ứng nào; hai đường có thể nằm hai phía khác nhau của c.
Bài 5: B = C = (180°−40°)/2 = 70°. BD phân giác nên CBD = 35°. Trong tam giác BDC, BDC = 180°−35°−70° = 75°.
Bài 6: Có thể lấy F trên tia ED sao cho DE = EF, chứng minh các tam giác thích hợp bằng nhau để suy ra AF∥BC; từ đó DE∥BC. Đây là cách suy luận hình học trước khi học định lí đường trung bình đầy đủ.
Bài 7: Hai tam giác ABM, ACM có AB = AC, BM = CM, AM chung nên bằng nhau. Suy ra ∠BAM = ∠MAC.
Bài 8: Theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, hai tam giác bằng nhau; do đó mọi góc tương ứng bằng nhau.
Tự kiểm tra và mở rộng
Sau khi hoàn thành Góc, đường thẳng và tam giác lớp 7: tam giác cân – bằng nhau – trung điểm, nên quay lại Bài 5 để ghi riêng giả thiết, kết luận và bước suy luận không thể bỏ. Ở Bài 8, thử thay một dữ kiện nhỏ rồi dự đoán tính chất nào còn đúng trước khi giải lại. Với bài phương trình hoặc số học, kiểm tra nghiệm và điều kiện; với hình học, chỉ dùng các quan hệ đã được chứng minh. Đây là cách phát hiện lời giải đúng do suy luận chứ không phải do đoán trúng.