Bộ bài tập hình học lớp 7 tập trung vào tam giác cân, hai tam giác bằng nhau, đường trung tuyến và quan hệ góc. Lời giải chỉ rõ căn cứ suy luận, không lấy kết quả cần chứng minh làm giả thiết.
Trọng tâm tư duy
- Phân biệt giả thiết, kết luận và chỉ rõ hai tam giác cần so sánh.
- Dùng cạnh–góc–cạnh hoặc cạnh–cạnh–cạnh để chứng minh các đoạn thẳng, góc bằng nhau.
- Khép kín từng chứng minh bằng tính chất hai góc kề bù, tổng ba góc hoặc tam giác cân.
Đề bài
Bài 1: Tam giác ABC cân tại A, góc ngoài tại C bằng 124°. Tính ba góc trong của tam giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC với AB = AC, M là trung điểm BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC, đồng thời AM vuông góc BC.
Bài 3: Tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 48°. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Tính góc BDC.
Bài 4: Trong tam giác ABC cân tại A, chọn D thuộc AB, E thuộc AC sao cho AD = AE. Chứng minh CD = BE.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = AC. M là trung điểm BC, N nằm trên đoạn AM. Chứng minh NB = NC.
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, góc A bằng 40°. Lấy D trên đoạn AC, D khác C, sao cho BD = BC. Tính góc ABD.
Bài 7: Tam giác ABC có AB = AC, D là điểm thuộc tia đối của AB sao cho AD = AB, E thuộc tia đối của AC sao cho AE = AC. Chứng minh BE = CD.
Bài 8: Hai tam giác ABC và DEF có AB = DE, BC = EF, AC = DF. Biết góc A = 43°, góc B = 71°. Tính góc E và góc F, giải thích sự tương ứng.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Góc trong C bằng 180° − 124° = 56°. Vì AB = AC nên góc B = góc C = 56°. Do đó góc A = 180° − 56° − 56° = 68°.
Bài 2: Xét hai tam giác ABM và ACM: AB = AC, BM = CM, AM chung nên hai tam giác bằng nhau (cạnh–cạnh–cạnh). Suy ra góc BAM = MAC và góc BMA = AMC. Hai góc BMA, AMC kề bù mà bằng nhau nên mỗi góc bằng 90°. Vậy AM là phân giác và AM vuông góc BC.
Bài 3: Hai góc ở đáy bằng (180° − 48°)/2 = 66°. Do BD phân giác góc B nên góc ABD = 33°. Trong tam giác ABD, góc ADB = 180° − 48° − 33° = 99°. Vì A, D, C thẳng hàng, góc BDC = 180° − 99° = 81°.
Bài 4: Xét tam giác ACD và ABE: AC = AB, AD = AE, góc CAD = BAE (cùng là góc BAC). Suy ra hai tam giác bằng nhau theo cạnh–góc–cạnh. Vì CD và BE tương ứng nên CD = BE.
Bài 5: Từ AB = AC, BM = CM, AM chung, suy ra tam giác ABM bằng ACM nên AM vuông góc BC. Vì N thuộc AM, MN vuông góc BC. Hai tam giác vuông NMB và NMC có NM chung, MB = MC, nên bằng nhau theo hai cạnh góc vuông. Do đó NB = NC.
Bài 6: Hai góc đáy ABC và ACB cùng bằng (180° − 40°)/2 = 70°. Tam giác BCD có BC = BD, nên góc BDC = BCD = 70°. Vì A, D, C thẳng hàng, góc BDA = 110°. Trong tam giác ABD, góc BAD = 40°, do đó góc ABD = 180° − 110° − 40° = 30°.
Bài 7: Vì D, A, B thẳng hàng với AD = AB và E, A, C thẳng hàng với AE = AC nên góc BAE = DAC (hai góc bù của góc BAC). Xét tam giác ABE và ACD: AB = AC, AE = AD, góc BAE = CAD; theo cạnh–góc–cạnh, BE = CD.
Bài 8: Theo ba cạnh tương ứng AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF, ta có A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Hai tam giác bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh. Vậy góc E = B = 71°, góc F = C = 180° − 43° − 71° = 66°.