Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng cần được nhận biết qua các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Các ví dụ giúp vận dụng tiêu chuẩn đó vào hình không gian.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của hai mặt phẳng vuông góc trước khi biến đổi.
- Trong Quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11: hai mặt phẳng vuông góc, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc.
Bài 2: Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABCD) vuông góc.
Bài 3: Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh mặt phẳng chéo (AA′C′C) vuông góc mặt phẳng đáy (ABCD).
Bài 4: Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ AC. Chứng minh (SAB) ⊥ (SAC).
Bài 5: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P), (Q) giao nhau theo đường d. Tại H thuộc d, lấy đường thẳng a nằm trong (P) và vuông góc d. Nếu M thuộc a và M khác H, chứng minh MH vuông góc mọi đường thẳng thuộc (Q) đi qua H.
Bài 6: Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc theo giao tuyến AB. H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến AB, với H nằm trên AB. Chứng minh SH ⊥ (ABC).
Bài 7: Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC). Chứng minh (ABB′A′) ⊥ (ABC) và (ACC′A′) ⊥ (ABC).
Bài 8: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4, AD = 3, SA = 5 và SA ⊥ (ABCD). Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
Lời giải chi tiết
Bài 1: Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Theo dấu hiệu nhận biết, (SAB) ⊥ (ABC).
Bài 2: Cạnh AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đồng thời AA′ nằm trong (ABB′A′). Vì một mặt phẳng chứa đường vuông góc mặt phẳng kia nên hai mặt phẳng vuông góc.
Bài 3: AA′ ⊥ (ABCD) và AA′ nằm trong (AA′C′C), vì vậy (AA′C′C) ⊥ (ABCD). Giao tuyến của chúng là AC.
Bài 4: AB ⊥ AC và AB ⊥ SA; hai đường AC, SA cắt nhau trong (SAC), nên AB ⊥ (SAC). Do AB nằm trong (SAB), suy ra (SAB) ⊥ (SAC).
Bài 5: Vì (P) ⊥ (Q) và a ⊂ (P), a ⊥ d tại H nên a ⊥ (Q). Đoạn MH nằm trên a, vì vậy MH vuông góc mọi đường thẳng của (Q) đi qua H.
Bài 6: Đường SH nằm trong (SAB) và SH ⊥ AB là giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc. Theo định lí, SH ⊥ (ABC); do đó H cũng là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC).
Bài 7: Cả hai mặt phẳng bên (ABB′A′) và (ACC′A′) đều chứa AA′. Do AA′ vuông góc (ABC), mỗi mặt phẳng bên nói trên vuông góc với (ABC).
Bài 8: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Tam giác ABD vuông tại A, BD = 5 và AH = AB·AD/BD = 12/5. Vì BD ⊥ AH và BD ⊥ SA nên BD ⊥ SH. Góc nhị diện giữa (SBD) và đáy là góc SHA trong tam giác vuông SAH, có tan∠SHA = SA/AH = 5/(12/5) = 25/12.