Tích vô hướng và góc giữa véc-tơ không gian.
Đề bài
Bài 1. Cho u=(1;2;−2), v=(2;−1;2). Tính u·v và cos góc giữa chúng.
Bài 2. Cho a=(2;−1;3), b=(−1;4;1). Tính |a+b| và |a−b|.
Bài 3. Tìm m để (m;2;1) vuông góc với (3;m−1;−2).
Bài 4. Với u=(m;1;2), v=(1;2;−1), tìm m để góc giữa u,v là góc vuông.
Bài 5. Với u=(1;2;−2), v=(2;−1;2), tìm giá trị thực t để độ dài |u+tv| nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm hình chiếu của véc-tơ u=(1;2;2) lên phương của v=(2;0;1).
Lời giải chi tiết
Bài 1. u·v=2−2−4=−4; |u|=3, |v|=3. cosθ=−4/9.
Bài 2. a+b=(1;3;4) ⇒|a+b|=√26. a−b=(3;−5;2) ⇒|a−b|=√38.
Bài 3. Tích vô hướng 3m+2(m−1)−2=5m−4=0 ⇒ m=4/5.
Bài 4. u·v=m+2−2=m. Hai véc-tơ không bằng 0, vuông góc ⇔tích vô hướng 0 ⇔m=0.
Bài 5. Ta có |u|²=9, |v|²=9 và u·v=−4. Do đó |u+tv|²=9−8t+9t²=9(t−4/9)²+65/9. Biểu thức nhỏ nhất khi t=4/9; khi ấy |u+tv|=√65/3.
Bài 6. Vì u·v=4 và |v|²=5, hình chiếu véc-tơ bằng [(u·v)/|v|²]v=(4/5)(2;0;1)=(8/5;0;4/5). Độ dài hình chiếu là 4/√5.
Lưu ý khi làm bài
Tích vô hướng dùng ba tọa độ, không bỏ thành phần z.