Tích vô hướng, góc giữa hai véc-tơ và đẳng thức véc-tơ.
Đề bài
Bài 1. Cho u=(3;−1), v=(2;4). Tính u·v và cos góc giữa chúng.
Bài 2. Cho |a|=3, |b|=4, a·b=6. Tính |a−b|.
Bài 3. Tìm m để u=(m;2), v=(3;m−1) vuông góc.
Bài 4. Cho u=(1;2), v=(3;−1). Tìm t sao cho |u+tv| nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Bài 1. u·v=6−4=2; |u|=√10, |v|=√20=2√5. cosθ=2/(√10·2√5)=1/(5√2)=√2/10.
Bài 2. |a−b|²=|a|²+|b|²−2a·b=9+16−12=13 ⇒ |a−b|=√13.
Bài 3. u·v=3m+2(m−1)=5m−2. Vuông góc ⇔5m−2=0 ⇒ m=2/5.
Bài 4. |u+tv|²=(1+3t)²+(2−t)²=10t²+2t+5=10(t+1/10)²+49/10. Min độ dài khi t=−1/10, giá trị √(49/10)=7/√10.
Lưu ý khi làm bài
Tích vô hướng âm cho biết góc tù; không thể suy ra hai véc-tơ vuông góc.