Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định tập trung vào tích phân xác định. Độ khó nằm ở việc đọc điều kiện, chọn quan hệ phù hợp và nối các bước suy luận; số liệu không được cố tình làm lớn chỉ để tạo cảm giác khó.
Trọng tâm tư duy
- Xác định miền xác định và cấu trúc của tích phân xác định trước khi biến đổi.
- Trong Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định, với tham số, cực trị hoặc xác suất phải nêu điều kiện để kết quả đạt được, không chỉ tính giá trị.
- Sau mỗi lời giải, kiểm tra nghiệm, dấu, miền hoặc giả thiết hình học trước khi chốt kết luận.
Đề bài
Bài 1: Tính ∫₀¹ x e^{x²} dx. Chỉ ra phép biến đổi giúp rút ngắn lời giải thay vì tính trực tiếp dài dòng. Trình bày theo trọng tâm Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định.
Bài 2: Tính ∫₀^{π/2} sin x cos x dx. Nêu rõ điều kiện xác định hoặc giả thiết được dùng ở bước quyết định. Trình bày theo trọng tâm Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định.
Bài 3: Tìm a>1 biết ∫₁^a 1/x dx = ln4.
Bài 4: Tính ∫₀² |x − 1| dx bằng cách tách khoảng.
Bài 5: Biết ∫₀¹f(x)dx = 2 và ∫₁³f(x)dx = −1. Tính ∫₀³f(x)dx.
Bài 6: Tính I = ∫₀¹ 1/(1 + x)² dx.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Đặt u = x², du = 2x dx. Kết quả (1/2)∫₀¹e^u du = (e − 1)/2.
Bài 2: Đặt u = sin x, du = cos x dx; cận 0→1. Kết quả ∫₀¹u du = 1/2.
Bài 3: ln a − ln1 = ln4 nên a = 4.
Bài 4: Trên [0, 1], |x − 1| = 1 − x; trên [1, 2], bằng x − 1. Mỗi phần có diện tích 1/2, tổng 1.
Bài 5: Tính cộng được: 2 + (−1) = 1.
Bài 6: Nguyên hàm −1/(1 + x). I = [−1/(1 + x)]₀¹ = −1/2 + 1 = 1/2.
Tự kiểm tra và mở rộng
Phần tự kiểm tra của Nguyên hàm và tích phân lớp 12: tích phân xác định nên tập trung vào Bài 4 và Bài 1: ghi riêng miền xác định, điểm tới hạn hoặc giả thiết hình học trước khi tính; sau đó kiểm tra xem kết luận có thay đổi khi một tham số hoặc dữ kiện được điều chỉnh nhỏ hay không. Khi một lời giải có nhiều nghiệm hoặc nhiều trường hợp, hãy xác nhận đã loại đủ nghiệm ngoại lai và đã xét đủ dấu. Mục tiêu là kiểm soát lập luận, không phải chỉ thu được một con số cuối.