Bài toán: Tìm các số nguyên dương $x$ sao cho: $x^2+x+10$ là một số chính phương.
Hướng dẫn giải:
*Nhận xét: Đây là một bài toán số học rất hay về chuyên đề số chính phương. Phương pháp hiệu quả nhất cho dạng bài này là nhân thêm hệ số để tạo ra các bình phương đúng (hằng đẳng thức), sau đó đưa về phương trình tích (phương trình ước số).
Dưới đây là lời giải chi tiết:
Bước 1: Đặt phương trình
Giả sử biểu thức $x^2 + x + 10$ là một số chính phương. Ta đặt:
$x^2 + x + 10 = y^2$
(Với $y$ là số nguyên dương).
Bước 2: Biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức
Để tránh việc xuất hiện phân số khi tạo hằng đẳng thức từ đại lượng $x$, ta nhân cả 2 vế của phương trình với 4:
$4x^2 + 4x + 40 = 4y^2$
Sau đó, ta tách số 40 thành $1 + 39$ để nhóm 3 số hạng đầu thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
$(4x^2 + 4x + 1) + 39 = 4y^2$
$(2x + 1)^2 + 39 = (2y)^2$
Bước 3: Đưa về phương trình ước số
Chuyển $(2x + 1)^2$ sang vế phải, ta có hiệu hai bình phương:
$(2y)^2 – (2x + 1)^2 = 39$
Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$, ta được:
$(2y – 2x – 1)(2y + 2x + 1) = 39$
Bước 4: Đánh giá và tìm nghiệm
Vì $x$ là số nguyên dương ($x \ge 1$) và $y$ cũng là số nguyên dương, ta có thể đánh giá các thừa số như sau:
- Đại lượng $2y + 2x + 1$ chắc chắn là một số nguyên dương.
- Hiển nhiên ta có $(2y + 2x + 1) > (2y – 2x – 1)$.
Do tích của hai thừa số bằng 39 (một số dương), nên cả hai thừa số đều phải là ước dương của 39. Các ước dương của 39 bao gồm: 1, 3, 13 và 39.
Dựa vào đánh giá trên, ta có 2 trường hợp ghép cặp thỏa mãn:
Trường hợp 1:
$2y – 2x – 1 = 1$
$2y + 2x + 1 = 39$
Lấy phương trình dưới trừ đi phương trình trên vế theo vế để triệt tiêu $y$:
$(2y + 2x + 1) – (2y – 2x – 1) = 39 – 1$
$4x + 2 = 38$
$4x = 36$
$x = 9$
(Thử lại: $9^2 + 9 + 10 = 81 + 9 + 10 = 100 = 10^2$, thỏa mãn).
Trường hợp 2:
$2y – 2x – 1 = 3$
$2y + 2x + 1 = 13$
Tương tự, lấy phương trình dưới trừ đi phương trình trên vế theo vế:
$(2y + 2x + 1) – (2y – 2x – 1) = 13 – 3$
$4x + 2 = 10$
$4x = 8$
$x = 2$
(Thử lại: $2^2 + 2 + 10 = 4 + 2 + 10 = 16 = 4^2$, thỏa mãn).
Kết luận
Các số nguyên dương $x$ cần tìm để biểu thức là một số chính phương là $x = 2$ và $x = 9$.