Giải bài toán “lục giác đều” – Đề thi HSG Toán 8 (2025-2026) phường Trường Vinh, Nghệ An được trình bày theo đúng dữ kiện của bài thi; trọng tâm là chỉ ra bước khóa thay vì kéo dài phép tính.
Đề bài
Trên sáu đỉnh của một lục giác đều ghi sáu số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Mỗi lần chọn một cạnh rồi cộng cùng một số nguyên vào hai đầu mút của cạnh. Sau một số lần, sáu số có thể bằng nhau không?
Phân tích
Mô phỏng từng thao tác không hiệu quả vì số lần không bị chặn. Cần tìm một đại lượng không đổi; tổng xen kẽ phù hợp vì hai đầu của mỗi cạnh luôn mang hai dấu trái nhau.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Gọi sáu số theo thứ tự a1,a2,a3,a4,a5,a6 và xét S = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6.
Bước 2. Mỗi lần cộng cùng c vào hai đỉnh kề nhau. Trong S, hai đỉnh ấy mang dấu trái nhau, nên S thay đổi c − c = 0. Vì vậy S là bất biến.
Bước 3. Ban đầu sáu số là 2k,2k + 2,2k + 4,2k + 6,2k + 8,2k + 10. Khi đó S=−6 (nếu đọc ngược chiều thì bằng 6), chắc chắn khác 0.
Bước 4. Nếu cuối cùng sáu số đều bằng t thì S = t − t + t − t + t − t = 0.
Bước 5. Giá trị bất biến không thể đổi từ ±6 thành 0. Vậy không thể làm sáu số bằng nhau.
Điểm cần nhớ
- Bất biến cho phép bỏ qua toàn bộ số bước thao tác.
- Trên chu trình chẵn, tổng xen kẽ thường là ứng viên tự nhiên.
- Phải so giá trị bất biến ở trạng thái đầu và trạng thái đích.
Bài luyện tương tự
Gợi ý/lời giải: Không đổi, vì hai số được cộng nằm ở hai vị trí có dấu trái nhau trong tổng xen kẽ.