Đề HSG Toán 8 phường Trường Vinh 2025–2026 và lời giải chi tiết được trình bày theo đúng cấu trúc làm đề: học sinh đọc và làm trọn vẹn năm bài trước, sau đó mới đối chiếu phần lời giải. Năm bài trải từ biến đổi đại số, số chính phương, số học đến bất biến và mô hình tài chính.
Cấu trúc và mức độ của đề
- Bài 1: biến đổi các biểu thức nghịch đảo và tạo tổng hai bình phương.
- Bài 2: số chính phương, hoàn thành bình phương và xét các cặp ước.
- Bài 3: tổng ước, số nguyên tố, chẵn – lẻ và phân tích thành tích.
- Bài 4: thao tác trên lục giác và tìm bất biến.
- Bài 5: lãi kép theo tháng, dòng thời gian gửi tiền và cấp số nhân.
Đề bài
Lời giải chi tiết
Đặt a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z. Khi đó a + b + c = 2 và 2ab − c² = 4.
Bình phương a + b + c = 2: a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 4.
Lấy phương trình này trừ 2ab − c² = 4, được a² + b² + 2c² + 2bc + 2ca = 0, tức (a + c)² + (b + c)² = 0.
Suy ra a + c = 0 và b + c = 0. Do đó a = b=−c. Thay vào a + b + c = 2 được − c = 2, nên a = b = 2,c=−2.
Vậy x = y = 1/2,z=−1/2. Khi đó x + 2y + z = 1 nên B = 1. Thay lại hai giả thiết đều đúng.
Đặt x² + x + 10 = y² với y nguyên dương. Nhân 4: 4x² + 4x + 40 = 4y².
Viết 4x² + 4x + 40 = (2x + 1)² + 39, nên (2y)² − (2x + 1)² = 39.
Phân tích: (2y − 2x − 1)(2y + 2x + 1) = 39. Hai thừa số dương và thừa số thứ hai lớn hơn.
Các cặp ước dương của 39 là (1,39) và (3,13). Lấy phương trình thứ hai trừ thứ nhất: với (1,39), 4x + 2 = 38 nên x = 9; với (3,13), 4x + 2 = 10 nên x = 2.
Thử lại: 9² + 9 + 10 = 100, 2² + 2 + 10 = 16. Vậy x = 2 hoặc x = 9.
Gọi n = pqr với p<q<r là ba số nguyên tố phân biệt. Khi đó tổng các ước dương bằng (p + 1)(q + 1)(r + 1), nên (p + 1)(q + 1)(r + 1) = 2pqr − 16.
Nếu p,q,r đều lẻ thì vế trái chia hết cho 8; còn 2pqr − 16 = 2(pqr − 8), mà pqr − 8 lẻ, nên vế phải chỉ có đúng một thừa số 2. Mâu thuẫn. Vì vậy p = 2.
Thay p = 2: 3(q + 1)(r + 1) = 4qr − 16. Rút gọn được qr − 3q − 3r = 19, hay (q − 3)(r − 3) = 28.
q,r là nguyên tố lẻ nên q − 3,r − 3 đều chẵn. Trong các cặp ước dương của 28, chỉ (2,14) có cả hai thừa số chẵn và đúng thứ tự q<r. Do đó q = 5,r = 17.
Suy ra n = 2·5·17 = 170, nên n − 8 = 162 = 6·27. Vậy n − 8 chia hết cho 6.
Gọi sáu số theo thứ tự a1,a2,a3,a4,a5,a6 và xét S = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6.
Mỗi lần cộng cùng c vào hai đỉnh kề nhau. Trong S, hai đỉnh ấy mang dấu trái nhau, nên S thay đổi c − c = 0. Vì vậy S là bất biến.
Ban đầu sáu số là 2k,2k + 2,2k + 4,2k + 6,2k + 8,2k + 10. Khi đó S=−6 (nếu đọc ngược chiều thì bằng 6), chắc chắn khác 0.
Nếu cuối cùng sáu số đều bằng t thì S = t − t + t − t + t − t = 0.
Giá trị bất biến không thể đổi từ ±6 thành 0. Vậy không thể làm sáu số bằng nhau.
Lãi suất mỗi tháng r = 3,24%/12 = 0,27%=0,0027. Đặt q = 1 + r = 1,0027.
Nếu mỗi tháng gửi A đồng ở đầu tháng, giá trị cuối tháng thứ 12 là A(q^12 + q^11+…+q).
Tổng q + q²+…+q^12 = q(q^12 − 1)/(q − 1). Vì mục tiêu là 35 000 000 đồng nên A = 35 000 000/[q(q^12 − 1)/(q − 1)].
Tính q+…+q^12≈12,21269908 nên A≈2 865 869 đồng, tức khoảng 2,866 triệu đồng/tháng.
Kiểm tra hợp lí: nếu không có lãi cần 35 000 000/12≈2,917 triệu đồng/tháng; có lãi thì khoản gửi đều phải nhỏ hơn mức này.
Sau khi chữa đề
Không chỉ ghi đúng – sai. Với mỗi bài, hãy ghi lại một dòng về dấu hiệu giúp chọn phương pháp: nghịch đảo, hiệu hai bình phương, chẵn – lẻ, bất biến hay dòng thời gian lãi kép. Nếu chưa nêu được dấu hiệu này, nên làm lại bài mà chưa nhìn lời giải.