Đề HSG Toán lớp 6 số 1 là đề tổng hợp thiên về số học: chia hết, số dư, chữ số tận cùng và bài toán cấu tạo số. Các câu được sắp từ suy luận ngắn đến bài cần kết hợp nhiều điều kiện.
Mấu chốt cần nhận ra
- Không dùng kiến thức lớp trên để rút ngắn lời giải.
- Ưu tiên chia hết, xét số dư, phân tích cấu tạo số và lập luận trường hợp.
- Mỗi đáp số đều phải đi kèm lí do loại các khả năng khác.
Đề bài
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số, chia cho 7 dư 3 và chia cho 5 dư 1.
Bài 2: Tìm chữ số a để số 47a2 chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Bài 4: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bằng 11 và khi đổi chỗ hai chữ số thì số mới lớn hơn số cũ 27.
Bài 5: Tính chữ số tận cùng của tổng 7 + 7² + 7³ + … + 7²⁰.
Bài 6: Một số khi chia cho 12 dư 5, khi chia cho 18 cũng dư 5. Tìm số nhỏ nhất lớn hơn 100 thỏa mãn.
Bài 7: Tìm số viên bi nhỏ nhất lớn hơn 100, biết nếu chia đều mỗi hộp 6 viên thì thừa 4 viên, còn nếu chia đều mỗi hộp 8 viên thì cũng thừa 4 viên.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Các số chia 5 dư 1 là 101, 106, 111, … Kiểm tra theo modulo 7: 101 chia 7 dư 3, nên số nhỏ nhất là 101.
Bài 2: Chia hết cho 6 nghĩa là chia hết cho 2 và 3. Số đã chẵn vì tận cùng 2. Tổng chữ số là 4 + 7 + a + 2 = 13 + a phải chia hết cho 3. a có thể là 2, 5 hoặc 8.
Bài 3: Ba số liên tiếp là n, n+1, n+2. Tổng bằng 3n + 3 = 3(n+1), nên chia hết cho 3.
Bài 4: Gọi số là 10a+b. Số đổi chỗ là 10b+a. Hiệu bằng 9(b−a)=27 nên b−a=3. Lại có a+b=11, suy ra 2b=14 nên b=7, a=4. Số cần tìm 47.
Bài 5: Lũy thừa của 7 có chữ số tận cùng theo chu kì 7,9,3,1. Mỗi 4 số có tổng tận cùng 0. Có 20 số = 5 chu kì nên tổng có chữ số tận cùng 0.
Bài 6: Số cần tìm trừ 5 phải chia hết cho cả 12 và 18. Bội chung nhỏ nhất của 12 và 18 là 36. Các số dạng 36k+5; nhỏ nhất >100 là 36×3+5=113.
Bài 7: Tổng trừ 4 phải chia hết cho cả 6 và 8. Bội chung nhỏ nhất là 24. Số dạng 24k+4. Nhỏ nhất >100 là 24×5+4=124.