Đề bài: Cho số nguyên dương $n$ là tích của ba số nguyên tố phân biệt. Biết rằng tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$ là $2n – 16$. Chứng minh: $n – 8$ chia hết cho 6.
Hướng dẫn giải:
*Nhận xét: Đây là một bài toán Số học vô cùng thú vị, kết hợp giữa tính chất của số nguyên tố, tổng các ước số và phương trình nghiệm nguyên (Diophantine). Việc tìm ra chính xác giá trị của $n$ là chìa khóa để giải quyết bài toán này.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Thiết lập phương trình từ giả thiết
Vì $n$ là tích của ba số nguyên tố phân biệt, ta giả sử $n = p \cdot q \cdot r$ (với $p, q, r$ là các số nguyên tố và $p < q < r$).
Theo công thức tính tổng các ước nguyên dương của một số, tổng các ước của $n$ sẽ là:
$(p + 1)(q + 1)(r + 1)$
Theo giả thiết đề bài, tổng này bằng $2n – 16$, do đó ta có phương trình:
$(p + 1)(q + 1)(r + 1) = 2pqr – 16 \quad (*)$
Bước 2: Đánh giá tính chẵn lẻ để tìm một số nguyên tố
Ta sẽ chứng minh trong ba số $p, q, r$ bắt buộc phải có một số bằng 2.
- Giả sử cả ba số $p, q, r$ đều là số nguyên tố lẻ (tức là $\ge 3$).
- Khi đó, các đại lượng $(p + 1), (q + 1), (r + 1)$ đều là các số chẵn.
- Do vậy, vế trái của $(*)$ là $(p + 1)(q + 1)(r + 1)$ sẽ chia hết cho $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
- Mặt khác, xét vế phải: $2pqr – 16 = 2(pqr – 8)$. Vì $p, q, r$ lẻ nên tích $pqr$ là một số lẻ. Suy ra $(pqr – 8)$ cũng là một số lẻ. Khi nhân với 2, vế phải $2(pqr – 8)$ chỉ chia hết cho 2 chứ không thể chia hết cho 4 (và dĩ nhiên không chia hết cho 8).
Điều này dẫn đến mâu thuẫn (vế trái chia hết cho 8, vế phải không chia hết cho 8).
Vậy giả sử ban đầu là sai. Trong ba số $p, q, r$ phải có ít nhất một số chẵn. Vì chúng là số nguyên tố, nên số nhỏ nhất bắt buộc phải là $p = 2$.
Bước 3: Đưa về phương trình nghiệm nguyên
Thay $p = 2$ vào phương trình $(*)$, ta có:
$(2 + 1)(q + 1)(r + 1) = 2 \cdot 2 \cdot qr – 16$
$3(qr + q + r + 1) = 4qr – 16$
$3qr + 3q + 3r + 3 = 4qr – 16$
Chuyển vế và thu gọn, ta được:
$qr – 3q – 3r = 19$
Tiến hành cộng thêm 9 vào cả hai vế để tạo nhân tử chung:
$qr – 3q – 3r + 9 = 19 + 9$
$q(r – 3) – 3(r – 3) = 28$
$(q – 3)(r – 3) = 28$
Bước 4: Giải phương trình ước số
Vì $q, r$ là các số nguyên tố phân biệt và lớn hơn 2 (do $p = 2$), nên $q, r$ là các số lẻ. Hơn nữa ta đã giả sử $q < r$, nên $(q – 3) < (r – 3)$.
Các cặp ước số dương của 28 thỏa mãn điều kiện này là: $(1, 28), (2, 14), (4, 7)$.
Ta xét từng trường hợp:
- Trường hợp 1:
$q – 3 = 1 \implies q = 4$ (Loại vì 4 không phải số nguyên tố).
- Trường hợp 2:
$q – 3 = 2 \implies q = 5$ (Thỏa mãn, là số nguyên tố).
$r – 3 = 14 \implies r = 17$ (Thỏa mãn, là số nguyên tố).
- Trường hợp 3:
$q – 3 = 4 \implies q = 7$ (Thỏa mãn).
$r – 3 = 7 \implies r = 10$ (Loại vì 10 không phải số nguyên tố).
Vậy ta tìm được bộ ba số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là: $p = 2, q = 5, r = 17$.
Bước 5: Kết luận
Giá trị của $n$ là:
$n = 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$
Ta xét đại lượng đề bài yêu cầu chứng minh:
$n – 8 = 170 – 8 = 162$
Kiểm tra tính chia hết cho 6:
$162 : 6 = 27$ (Chia hết).
Kết luận: Ta đã chứng minh được $n – 8$ chia hết cho 6. (ĐPCM)