Số nguyên tố và ước số nâng cao lớp 6: Bài tập phân loại kết hợp phân tích thừa số nguyên tố, đếm ước, nhận dạng số chính phương và suy luận từ tích. Đây là nhóm kỹ năng nền tảng cho số học HSG lớp 6.
Phương pháp cần nhớ
- Phân tích số thành thừa số nguyên tố trước khi đếm hoặc liệt kê ước.
- Nếu tích hai số nguyên tố được cho, thử chia bởi các số nguyên tố nhỏ đến căn bậc hai của tích.
- Một số chính phương có số mũ của mọi thừa số nguyên tố đều chẵn.
Đề bài
Bài 1: Tích của hai số nguyên tố khác nhau bằng 221. Tìm hai số đó.
Bài 2: Phân tích 360 thành thừa số nguyên tố và tính số ước dương của 360.
Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất phải nhân với 90 để được một số chính phương.
Bài 4: Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 40.
Bài 5: Chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Bài 6: Tìm số có đúng ba ước dương và nhỏ hơn 50.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 72n là số chính phương.
Bài 8: Có bao nhiêu ước dương của 120 là số chẵn?
Lời giải chi tiết
Bài 1: Thử các số nguyên tố nhỏ: 221 không chia 2,3,5,7,11; 221 : 13 = 17 và 17 nguyên tố. Hai số là 13 và 17.
Bài 2: 360 = 36×10 = 2³×3²×5. Một ước có thể chọn số mũ của 2 là 0–3 (4 cách), của 3 là 0–2 (3 cách), của 5 là 0–1 (2 cách). Số ước = 4×3×2 = 24.
Bài 3: 90 = 2×3²×5. Để mọi số mũ chẵn cần nhân thêm 2×5 = 10. Khi đó 900 = 30². Số cần tìm 10.
Bài 4: Các p nguyên tố nhỏ hơn 26 để p+14<40. Thử p = 2,3,5,7,11,13,17,19,23. Chỉ p=3 cho 13 và 17 đều nguyên tố; p=17 cho 27 không nguyên tố; các trường hợp khác loại. Vậy p=3.
Bài 5: Hai số liên tiếp luôn có một số chẵn. Tích chứa thừa số 2 nên luôn chia hết cho 2.
Bài 6: Một số có đúng ba ước khi nó là bình phương của một số nguyên tố: 2²=4, 3²=9, 5²=25, 7²=49. Các số là 4, 9, 25, 49.
Bài 7: 72 = 2³×3². Muốn thành chính phương cần thêm một thừa số 2 để số mũ của 2 thành 4. Chọn n nhỏ nhất là 2; 72×2=144=12².
Bài 8: 120 = 2³×3×5. Ước chẵn phải chứa 2 với số mũ 1,2 hoặc3: 3 cách; số mũ của 3 có 2 cách, của 5 có 2 cách. Tổng = 3×2×2 = 12 ước chẵn.