Mặt phẳng, góc và khoảng cách trong Oxyz.
Đề bài
Bài 1. Tính khoảng cách từ M(2;−1;3) tới mặt phẳng (P): 2x−y+2z−9=0.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1;2;−1) và song song với mặt phẳng 3x−y+2z=7.
Bài 3. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y−2z+1=0, (Q): 2x+4y−4z−3=0. Chứng minh song song và tính khoảng cách.
Bài 4. Tìm m để mặt phẳng x+2y−2z+m=0 đi qua A(1;−1;3).
Bài 5. Cho M(t;1;2). Tìm t để khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (P): x+2y−2z−1=0 và (Q): x+2y−2z+5=0 bằng nhau.
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;2), B(0;1;2), C(1;1;3).
Lời giải chi tiết
Bài 1. Thay tọa độ: |4+1+6−9|/√(4+1+4)=2/3.
Bài 2. Mặt phẳng cần tìm có pháp tuyến (3;−1;2): 3(x−1)−(y−2)+2(z+1)=0 ⇒3x−y+2z+1=0.
Bài 3. Pháp tuyến Q gấp đôi pháp tuyến P nên song song hoặc trùng. Chia Q cho 2: x+2y−2z−3/2=0 khác P. Khoảng cách |1−(−3/2)|/√(1+4+4)= (5/2)/3=5/6.
Bài 4. Thế tọa độ A: 1−2−6+m=0 ⇒m=7. Khi đó phương trình mặt phẳng là x+2y−2z+7=0.
Bài 5. Hai mặt phẳng có cùng độ dài pháp tuyến là 3. Khoảng cách tương ứng bằng |t−3|/3 và |t+3|/3. Do đó |t−3|=|t+3|, bình phương cho (t−3)²=(t+3)², suy ra t=0.
Bài 6. Ta có AB=(−1;1;0), AC=(0;1;1). Véc-tơ n=(1;1;−1) vuông góc với cả AB và AC, nên là pháp tuyến. Mặt phẳng cần tìm là (x−1)+y−(z−2)=0, tức x+y−z+1=0. Thử lần lượt ba điểm đều thỏa mãn.
Lưu ý khi làm bài
Khoảng cách vuông góc lấy trị tuyệt đối tử số và độ dài véc-tơ pháp tuyến ở mẫu.