Cộng, trừ, nhân, chia số nguyên: Quy tắc, ví dụ và bài tập lớp 6 được nâng lên các bài khai thác ghép số đối, khoảng cách trên trục số, giá trị tuyệt đối và điều kiện chia hết trong tập số nguyên. Phép cộng trừ trực tiếp chỉ là bước trung gian.
Điểm khó cần nhận ra
- Giá trị tuyệt đối nên được hiểu như khoảng cách để giảm số trường hợp phải xét.
- Phương trình tích bằng hằng số thường đưa về xét các cặp ước nguyên.
- Khi một phân thức cần nhận giá trị nguyên, hãy tách tử thành bội của mẫu cộng một hằng số nhỏ.
Đề bài
Bài 1: Tính S = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − … − 99 + 100.
Bài 2: Tìm các số nguyên x thỏa |x − 2| + |x + 3| = 7.
Bài 3: Tìm tất cả số nguyên x thỏa |2x − 1| ≤ 7.
Bài 4: Giải phương trình nguyên (x − 4)(x + 7) = 12.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của |x − 5| + |x + 2| với x nguyên và tìm tất cả x đạt giá trị đó.
Bài 6: Giải |x| + |x − 4| = 10 trong tập số nguyên.
Bài 7: Tìm các số nguyên x để (x + 5)/(x − 2) là số nguyên.
Lời giải chi tiết
Bài 1: Ghép từng cặp (−1 + 2), (−3 + 4), …, (−99 + 100). Mỗi cặp bằng 1 và có 50 cặp, nên S = 50.
Bài 2: Hai mốc là − 3 và 2. Nếu − 3 ≤ x ≤ 2 thì tổng hai khoảng cách luôn bằng 5, không thỏa. Nếu x ≥ 2 thì tổng bằng (x − 2) + (x + 3) = 2x + 1 = 7, được x = 3. Nếu x ≤ −3 thì tổng bằng (2 − x) + (−x − 3) = −2x − 1 = 7, được x = −4. Vậy x = −4 hoặc x = 3.
Bài 3: Ta có − 7 ≤ 2x − 1 ≤ 7. Cộng 1: −6 ≤ 2x ≤ 8, chia 2: −3 ≤ x ≤ 4. Vậy x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Bài 4: Hai thừa số hơn kém nhau 11. Các cặp ước nguyên của 12 có hiệu 11 là (1,12) và (−12,−1). Từ x − 4 = 1 được x = 5; từ x − 4 = −12 được x = −8. Hai nghiệm là 5 và − 8.
Bài 5: Biểu thức là tổng khoảng cách từ x đến hai điểm − 2 và 5. Khi x nằm giữa hai điểm này, tổng khoảng cách đúng bằng khoảng cách từ − 2 đến 5, tức 7. Ngoài đoạn đó tổng lớn hơn 7. Vì x nguyên nên mọi x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} đều cho giá trị nhỏ nhất 7.
Bài 6: Nếu 0 ≤ x ≤ 4 thì tổng bằng 4, không thỏa. Nếu x ≥ 4 thì tổng là x + x − 4 = 10, suy ra x = 7. Nếu x ≤ 0 thì tổng là − x + 4 − x = 10, suy ra x = −3. Vậy x = −3 hoặc 7.
Bài 7: Ta viết x + 5 = (x − 2) + 7 nên phân thức bằng 1 + 7/(x − 2). Muốn giá trị nguyên thì x − 2 phải là ước của 7: ±1, ±7. Suy ra x = 3, 1, 9, −5.
Tự kiểm tra sau khi giải
Với bài giá trị tuyệt đối, hãy vẽ nhanh các mốc trên trục số rồi mới tách trường hợp. Với bài nghiệm nguyên, phải kiểm tra tất cả cặp ước âm và dương để không bỏ sót.
-3+(-1)=